広島大学 2020年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを $2$ 回投げる． $1$ 回目に出た目を $a_{1},$ $2$ 回目に出た目を $a_{2}$ とする．次に， $1$ 枚の硬貨を $2$ 回投げる． $1$ 回目に表が出た場合は $b_{1} = 1,$ 裏が出た場合は $b_{1} = a_{1}$ とおく．また， $2$ 回目に表が出た場合は $b_{2} = 1,$ 裏が出た場合は $b_{2} = a_{2}$ とおく．ベクトル $a = (a_{1}, a_{2}),$ $b = (b_{1}, b_{2})$ を考える．次の問いに答えよ．(1)　 $a_{1} + a_{2} = 7$ である確率を求めよ．(2)　 $b_{1} = 1$ である確率を求めよ．(3)　 $b = (1, 1)$ であったとき， $a = (1, 6)$ である条件付き確率を求めよ．(4)　 $b = (1, 1)$ であったとき， $a_{1} + a_{2} = 7$ である条件付き確率を求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期文理共通第3問

方針

各回について， $a_{k} = 1$ なら硬貨の結果にかかわらず $b_{k} = 1$ ， $a_{k} \neq = 1$ なら表のときだけ $b_{k} = 1$ になる。この重みを使って，条件付き確率の分母 $P (b = (1, 1))$ と各分子を数える。

解答

(1)

$a_{1} + a_{2} = 7$ となる組は

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

の6通りである。したがって求める確率は

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

である。

(2)

$b_{1} = 1$ となるのは，硬貨の1回目が表である場合，または硬貨の1回目が裏で $a_{1} = 1$ の場合である。よって

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12}

である。

(3)

(2)と同様に，各成分について $P (b_{k} = 1) = \frac{7}{12}$ であり，2回は独立なので

P (b = (1, 1)) = (\frac{7}{12})^{2} = \frac{49}{144}

である。また $a = (1, 6)$ のもとで $b = (1, 1)$ となる確率は $1 \cdot \frac{1}{2}$ であるから，

P (a = (1, 6), b = (1, 1)) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{72}

である。したがって条件付き確率は

\frac{1/72}{49/144} = \frac{2}{49}

である。

(4)

$a_{1} + a_{2} = 7$ となる6通りについて， $b = (1, 1)$ となる硬貨の確率を加える。両端の $(1, 6), (6, 1)$ では重みが $\frac{1}{2}$ ，中央の4通りでは重みが $\frac{1}{4}$ である。よって

P (a_{1} + a_{2} = 7, b = (1, 1)) = \frac{1}{36} (\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{18}

である。したがって条件付き確率は

\frac{1/18}{49/144} = \frac{8}{49}

である。

広島大学 2020年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文理共通数学第3問