広島大学 2020年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

$a,$ $b$ を正の定数とする． $0 < θ < π$ を満たす実数 $θ$ に対し，平面上で，次の三つの条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす三角形 $P A B,$ およびこの三角形と辺 $A B$ を共有する長方形 $A B C D$ を考える．(ⅰ)　 $P A = a,$ $P B = b,$ $∠ A P B = θ$ である．(ⅱ)　 $2$ 点 $C,$ $D$ はともに直線 $A B$ に関して点 $P$ と反対側にある．(ⅲ)　 $A B = 3 A D$ である．三角形 $P A B$ の面積と長方形 $A B C D$ の面積の和を $S$ とする．次の問いに答えよ．(1)　辺 $A B$ の長さを $a,$ $b,$ $θ$ を用いて表せ．(2)　 $S$ を $a,$ $b,$ $θ$ を用いて表せ．(3)　 $θ$ が $0 < θ < π$ の範囲を動くときの $S$ の最大値を $M$ とし， $S$ が最大値 $M$ をとるときの $θ$ の値を $β$ とする． $M$ を $a,$ $b$ を用いて表せ．また， $sin β$ および $cos β$ の値をそれぞれ求めよ．(4)　 $a = 16,$ $b = 25$ とする．また， $β$ を(3)で定めた値とする． $θ = β$ のときの，点 $P$ と直線 $A B$ の距離を求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期文理共通第2問

方針

余弦定理で $A B^{2}$ を求め，長方形の面積を $A B^{2} /3$ と表す。 $S$ は $sin θ$ と $cos θ$ の一次式になるので， $\frac{1}{2} sin θ - \frac{2}{3} cos θ$ の最大値を三角比の合成で求める。最後は三角形の面積から高さを出す。

解答

(1)

余弦定理より

A B = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ

である。

(2)

三角形 $P A B$ の面積は $\frac{1}{2} ab sin θ$ である。また $A B = 3 A D$ より，長方形 $A B C D$ の面積は

A B \cdot A D = \frac{A B ^{2}}{3} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab cos θ}{3}

である。したがって

S = \frac{1}{2} ab sin θ + \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab cos θ}{3}

である。

(3)

(2)より

S = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{3} + ab (\frac{1}{2} sin θ - \frac{2}{3} cos θ)

である。ここで

(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{2}{3})^{2} = \frac{5}{6}

であるから，最大値は

M = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{3} + \frac{5}{6} ab = \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{6}

である。この最大値をとるとき

sin β = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{4}{5}

である。

(4)

$a = 16, b = 25$ とし， $θ = β$ とする。このとき

A B^{2} = 1 6^{2} + 2 5^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 25 (- \frac{4}{5}) = 1521

より $A B = 39$ である。点 $P$ と直線 $A B$ の距離を $h$ とすると，三角形 $P A B$ の面積から

\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 \cdot \frac{3}{5}

である。よって

h = \frac{80}{13}

である。

広島大学 2020年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文理共通数学第2問