横浜国立大学 2025年度文系数学第3問解答・解説

問題

原点を $O$ とする $x y$ 平面上で，関数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ で定義される曲線 $C : y = f (x)$ と， $C$ 上にない点 $R (r, s)$ を考える。 $R$ および $C$ 上の異なる2点 $P (p, f (p))$ ， $Q (q, f (q))$ （ $p < q$ ）は以下の(i)，(ii)を満たすとする。

(i)　 $P$ と $R$ を通る直線 $l_{1}$ は， $Q$ を通る $C$ の接線と平行である。

(ii)　 $Q$ と $R$ を通る直線 $l_{2}$ は， $P$ を通る $C$ の接線と平行である。

次の問いに答えよ。

(1) $r$ と $s$ が満たす条件を求め， $p$ と $q$ をそれぞれ $r$ と $s$ を用いて表せ。

さらに $P$ ， $Q$ ， $R$ は以下の(iii)を満たす。

(iii)　 $l_{1}$ と $l_{2}$ は直交する。

(2) $s$ を $r$ の式で表せ。

さらに $O$ ， $P$ ， $Q$ が一直線上にないとする。

(3) $r$ の取りうる値の範囲を求めよ。

(4) $△ O P Q$ の面積を $T$ とする。 $T^{2}$ を $r$ の式で表せ。

(5) $T^{2}$ を $r$ の関数とみなし，その定義域を(3)で求めた範囲とする。そのとき， $T^{2}$ が極大となる $r$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期文系第3問

方針

接線の傾きが $f^{'} (x) = 2 x - 1$ であることから，2本の平行条件を式にする。差をとると $p + q = 2 r$ が出るので， $p = r - d, q = r + d$ と置いて整理する。直交条件で $d^{2}$ を決め，面積は原点を含む三角形の座標公式で求める。最後は得られた1変数関数を微分して極大点を判定する。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 2 x - 1$ である。条件(i)，(ii)より

s = f (p) + (2 q - 1) (r - p), s = f (q) + (2 p - 1) (r - q)

である。両式を引くと

(p - q) (p + q - 2 r) = 0

となり， $p \neq = q$ より $p + q = 2 r$ である。 $p = r - d, q = r + d$ （ $d > 0$ ）とおくと，どちらか一方の式から

s = r^{2} - r - 2 + 3 d^{2}

を得る。したがって条件は

s > r^{2} - r - 2

であり，

p = r - \frac{s - r ^{2} + r + 2}{3}, q = r + \frac{s - r ^{2} + r + 2}{3}

である。

(2)

直交条件は

(2 p - 1) (2 q - 1) = - 1

である。 $p + q = 2 r$ ， $pq = r^{2} - d^{2}$ を用いると

4 (r^{2} - d^{2}) - 4 r + 1 = - 1

より

d^{2} = r^{2} - r + \frac{1}{2}

である。よって

s = r^{2} - r - 2 + 3 (r^{2} - r + \frac{1}{2}) = 4 r^{2} - 4 r - \frac{1}{2}

である。

(3)

$O, P, Q$ が一直線上にある条件は

p f (q) - q f (p) = 0

である。ここで

p f (q) - q f (p) = (q - p) (pq + 2)

であり， $q - p > 0$ だから $pq = - 2$ が一直線条件である。一方，(2)のもとでは

pq = r^{2} - d^{2} = r - \frac{1}{2}

である。したがって除くべき値は $r = - 3/2$ であり，

r \neq = - \frac{3}{2}

である。

(4)

三角形の面積より

T = \frac{1}{2} ∣ p f (q) - q f (p) ∣ = \frac{1}{2} (q - p) ∣ pq + 2∣ = d r + \frac{3}{2}

である。したがって

T^{2} = (r^{2} - r + \frac{1}{2}) (r + \frac{3}{2})^{2}

である。

(5)

F (r) = (r^{2} - r + \frac{1}{2}) (r + \frac{3}{2})^{2}

とおく。微分すると

F^{'} (r) = (r + \frac{3}{2}) (4 r^{2} - \frac{1}{2})

である。定義域では $r = - 3/2$ は除かれているので，符号変化を見ると， $r = - 1/ (22)$ で増加から減少に変わる。よって $T^{2}$ が極大となるのは

r = - \frac{1}{2 2}

である。

横浜国立大学 2025年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

横浜国立大学 2025年度
文系数学第3問