問題
中身の見えない箱が1つあり，その中に白いカードが4枚，黒いカードが3枚入っている。
以下の操作IからIVを順に一度ずつ行う。
操作I 箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置く。
操作II 箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置く。
操作III 箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置き，操作Iで取り出したカードを箱の中に戻す。
操作IV 箱からカードを無作為に1枚取り出し，手元に置き，操作IIIで取り出したカードを箱の中に戻す。
例えば，操作I，II，III，IVで白，黒，黒，白の順でカードが取り出されたとする。箱の中に入っているカードの枚数を
で表すとき，箱の中は
のように変化してゆく。
次の問いに答えよ。
(1) 操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が3である確率を求めよ。
(2) 操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数と，操作IVを終えたときに箱の中に入っている黒いカードの枚数が同じである確率を求めよ。
(3) 操作IVを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が4であったという条件のもとで，操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が3である条件付き確率を求めよ。
方針
操作IからIVで取り出したカードの色を順にとする。操作III後の白枚数は，操作IIと操作IIIで取り出した色だけで決まる。操作IV後の枚数まで必要な小問では，白黒の列を必要最小限に分け，それぞれの確率を掛け合わせる。
解答
(1)
操作IからIVで取り出したカードの色を順にとする。操作III後には，操作IIと操作IIIで白を取り出した回数だけ箱の中の白いカードが減っている。したがって，操作III後の白いカードの枚数が3であるのは，のうち一方だけが白である場合である。
より，求める確率は
である。
(2)
白を，黒をで表す。条件を満たす取り出し順は，確率が0でないもののうち
である。それぞれの確率は
であるから，求める確率は
である。
(3)
操作IV後の白いカードの枚数が4である取り出し順は
であり，その確率の和は
である。このうち操作III後の白いカードの枚数が3であるのはで，確率の和は
である。よって条件付き確率は
である。