横浜国立大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に2つの放物線

C_{1} : y = x^{2} + 2 x, C_{2} : y = - 2 x^{2} + 2 x

がある。次の問いに答えよ。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ のどちらにも接する直線が1つだけ存在することを示し、その直線の方程式を求めよ。

上で求めた直線を $l$ とする。さらに、実数 $a, b$ に対して定まる直線 $m : y = a x + b$ が、次の2つの条件を満たすとする。

・ $m$ は $l$ と垂直に交わる。

・和集合 ${P ∣ P は m と C_{1} との共有点} \cup {Q ∣ Q は m と C_{2} との共有点}$ の要素の個数がちょうど4である。

(2) $b$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $m$ と $C_{1}$ で囲まれた部分の面積を $S_{1}$ とし、 $m$ と $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を $S_{2}$ とする。 $S_{1} : S_{2} = 1 : 2$ を満たす $b$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期文系第1問

共通接線は傾きを文字で置き、2つの放物線に対する接線条件を判別式で表す。(2)では $l$ に垂直な直線の傾きを定め、各放物線との交点が2個ずつあり、かつ原点で重ならない条件に直す。(3)では2次関数と直線で囲まれる面積を、2交点間の幅から表して比を解く。

直線を $y = p x + q$ とおく。 $C_{1}$ に接する条件は

x^{2} + (2 - p) x - q = 0

が重解をもつことであるから、 $(2 - p)^{2} + 4 q = 0$ である。また $C_{2}$ に接する条件は

- 2 x^{2} + (2 - p) x - q = 0

が重解をもつことであるから、 $(2 - p)^{2} - 8 q = 0$ である。よって

q = - \frac{( 2 - p ) ^{2}}{4} = \frac{( 2 - p ) ^{2}}{8}

となり、 $p = 2, q = 0$ を得る。したがって共通接線はただ1つで、 $y = 2 x$ である。

$l$ の傾きは2であるから、 $m$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ であり、 $m : y = - \frac{1}{2} x + b$ である。

$m$ と $C_{1}$ の共有点の $x$ 座標は $x^{2} + \frac{5}{2} x - b = 0$ を満たす。異なる2解をもつ条件は $\frac{25}{4} + 4 b > 0$ 、すなわち $b > - \frac{25}{16}$ である。

また $m$ と $C_{2}$ の共有点の $x$ 座標は $- 2 x^{2} + \frac{5}{2} x - b = 0$ を満たす。異なる2解をもつ条件は $\frac{25}{4} - 8 b > 0$ 、すなわち $b < \frac{25}{32}$ である。

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点は $(0, 0)$ のみであり、 $m$ がこの点を通るのは $b = 0$ のときである。このとき和集合の要素数は3となるので除く。したがって

- \frac{25}{16} < b < 0, 0 < b < \frac{25}{32}

である。

(2)の範囲で

S_{1} = \frac{1}{6} (\frac{25}{4} + 4 b)^{\frac{3}{2}}, S_{2} = \frac{1}{24} (\frac{25}{4} - 8 b)^{\frac{3}{2}}

である。 $S_{1} : S_{2} = 1 : 2$ より $2 S_{1} = S_{2}$ であるから

(\frac{25}{4} - 8 b)^{\frac{3}{2}} = 8 (\frac{25}{4} + 4 b)^{\frac{3}{2}}

である。両辺は正なので

\frac{25}{4} - 8 b = 4 (\frac{25}{4} + 4 b)

となり、 $b = - \frac{25}{32}$ を得る。