横浜国立大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

正の実数 $a, b$ に対して、関数 $f (x), g (x)$ を

⎩ ⎨ ⎧ f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - a (a + 1) x, g (x) = \frac{x ^{2}}{2} + b

とする。 $x y$ 平面上の曲線 $y = f (x)$ と曲線 $y = g (x)$ の共有点は、異なる2点のみである。これらの共有点の $x$ 座標を $p, q$ （ $p < q$ ）とおく。次の問いに答えよ。

(1) $b$ を $a$ の式で表せ。

(2) $p$ と $q$ をそれぞれ $a$ の式で表せ。

(3) $t$ が $p ≦ t ≦ q$ の範囲を動くとき、 $∣ f (t) - g (t) ∣$ の最大値を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文系第2問

方針

共有点は $h (x) = f (x) - g (x)$ の零点である。3次方程式が異なる2つの実数解だけをもつには、極値を与える点の一方で接する必要がある。 $h^{'} (x)$ から極大点・極小点を調べ、 $b > 0$ に注意して可能な接点を決める。(3)は $[p, q]$ で $h (x) ≦ 0$ となることを用い、極小値の絶対値を求める。

解答

(1)

h (x) = f (x) - g (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - a (a + 1) x - b

とおく。すると

h^{'} (x) = x^{2} - x - a (a + 1) = (x + a) (x - a - 1)

である。よって $h (x)$ は $x = - a$ で極大、 $x = a + 1$ で極小となる。

共有点が異なる2点のみであるためには、 $h (x) = 0$ が重解をもつ必要がある。ところが

h (a + 1) = - \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 4 a + 1 )}{6} - b < 0

であるから、 $x = a + 1$ では接しない。したがって $x = - a$ で接し、 $h (- a) = 0$ である。これより

b = \frac{a ^{2} ( 4 a + 3 )}{6}

である。

(2)

$x = - a$ が重解である。 $h (x)$ の $x^{3}$ の係数は $\frac{1}{3}$ であるから

h (x) = \frac{1}{3} (x + a)^{2} (x - q)

と表せる。 $x^{2}$ の係数を比較すると $\frac{2 a - q}{3} = - \frac{1}{2}$ であるから

p = - a, q = 2 a + \frac{3}{2}

である。

(3)

$p ≦ t ≦ q$ では $h (t) ≦ 0$ であり、 $∣ f (t) - g (t) ∣ = - h (t)$ である。 $- h (t)$ が最大となるのは、 $h (t)$ が最小となる $t = a + 1$ のときである。よって最大値は

- h (a + 1) = \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 4 a + 1 )}{6} + b

である。(1)の $b$ を代入すると

- h (a + 1) = \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 4 a + 1 ) + a ^{2} ( 4 a + 3 )}{6} = \frac{( 2 a + 1 ) ^{3}}{6}

である。

横浜国立大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
文系数学第2問