横浜国立大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

$r$ を0でない実数とする。数列 ${a_{n}}$ が以下をみたしている。

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = r, a_{n} = n - 1 + r + \frac{1}{r} (a_{n - 1} - n + 2) (n = 2, 3, 4, \dots)

次の問いに答えよ。

(1) $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ を $r$ の式で表せ。

(2) $a_{n}$ を $n, r$ の式で表せ。

(3) $r = \frac{1}{2}$ のとき、 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を $n$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文系第1問

$a_{n}$ から一次式 $n - 1$ を引き、 $c_{n} = a_{n} - n + 1$ とおくと等比型の漸化式になる。(2)は $c_{n}$ を有限和で表し、 $r = 1$ の場合も別に確認する。(3)では $r = 1/2$ を代入して、等比数列の和と自然数の和を足し合わせる。

漸化式に順に代入すると

a_{2} = 1 + r + \frac{1}{r} a_{1} = r + 2,

a_{3} = 2 + r + \frac{1}{r} (a_{2} - 1) = r + 3 + \frac{1}{r},

a_{4} = 3 + r + \frac{1}{r} (a_{3} - 2) = r + 4 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r ^{2}}

である。

c_{n} = a_{n} - n + 1

とおく。すると $c_{1} = r$ であり、 $n ≧ 2$ で

c_{n} = r + \frac{1}{r} c_{n - 1}

である。よって

c_{n} = j = 0 \sum n - 1 r^{1 - j}

となる。したがって

a_{n} = n - 1 + j = 0 \sum n - 1 r^{1 - j}

である。特に $r = 1$ のときは $a_{n} = 2 n - 1$ であり、 $r \neq = 1$ のときは

a_{n} = n - 1 + \frac{r ^{2} ( 1 - r ^{- n} )}{r - 1}

とも表せる。

$r = \frac{1}{2}$ のとき

a_{n} = n - 1 + \frac{2 ^{n} - 1}{2} = n + 2^{n - 1} - \frac{3}{2}

である。したがって

k = 1 \sum n a_{k} = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (2^{n} - 1) - \frac{3}{2} n = 2^{n} - 1 + \frac{n ( n - 2 )}{2}

である。