横浜国立大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $a, b$ に対し，関数 $f (x)$ を

f (x) = - x^{3} + (a + 2) x^{2} - (3 a - b - 2) x - 3 (b - 1)

と定める。 $x y$ 平面上で $y = f (x)$ の表す曲線を $C$ とする。次の問いに答えよ。

(1) どのような $a, b$ の値に対しても， $C$ はある定点を通ることを示せ。

(2) $f (x)$ は極値をとるとする。 $C$ が $x$ 軸に接するような $(a, b)$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

(3) $(a, b)$ が(2)で求めた範囲にあるとき， $f (x)$ の極値を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期文系第3問

方針

まず $f (x)$ を $a, b$ について整理し，係数が同時に消える $x$ を見つける。次に $f (x) = - (x - 3) {x^{2} + (1 - a) x + 1 - b}$ と因数分解し， $x$ 軸に接する条件を重根の条件として， $x = 3$ が重根の場合と二次因子が重根をもつ場合に分ける。三重根の場合は極値をとらないので除く。極値は重根をもつ三次式の形から微分して求める。

解答

(1)

$f (x)$ を $a, b$ について整理すると

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 3 + a (x^{2} - 3 x) + b (x - 3)

である。 $x = 3$ とすると $x^{2} - 3 x = 0$ , $x - 3 = 0$ であり，

f (3) = - 27 + 18 + 6 + 3 = 0

となる。したがって， $C$ は $a, b$ の値によらず定点 $(3, 0)$ を通る。

(2)

(1)より

f (x) = - (x - 3) {x^{2} + (1 - a) x + 1 - b}

と因数分解できる。 $C$ が $x$ 軸に接することは， $f (x) = 0$ が重根をもつことと同値である。

まず $x = 3$ が二次因子の根である場合，

9 + 3 (1 - a) + 1 - b = 0

より

b = 13 - 3 a

である。

次に二次因子が重根をもつ場合，

(1 - a)^{2} - 4 (1 - b) = 0

より

b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}

である。

ただし，この2つは $(a, b) = (7, - 8)$ で交わり，このとき $f (x) = - (x - 3)^{3}$ となって極値をとらない。したがって求める範囲は， $ab$ 平面上の直線

b = 13 - 3 a

と放物線

b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}

の和集合から点 $(7, - 8)$ を除いたものである。

% 図は省略

(3)

直線 $b = 13 - 3 a$ 上では

f (x) = - (x - 3)^{2} {x - (a - 4)}

である。微分すると

f^{'} (x) = - (x - 3) {3 x - (2 a - 5)}

となるから，極値をとる $x$ は $x = 3$ と $x = \frac{2 a - 5}{3}$ である。よって極値は

0, - \frac{4 ( 7 - a ) ^{3}}{27}

である。

放物線 $b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}$ 上では，二次因子の重根が $\frac{a - 1}{2}$ であるから

f (x) = - (x - 3) (x - \frac{a - 1}{2})^{2}

である。微分すると，極値をとる $x$ は $x = \frac{a - 1}{2}$ と $x = \frac{a + 11}{6}$ である。したがって極値は

0, \frac{( 7 - a ) ^{3}}{54}

である。いずれの場合も $a = 7$ は(2)で除かれている。

横浜国立大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2020年度
文系数学第3問