横浜国立大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

空間内に4点 $O, A, B, C$ があり，

∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣ = 1,

O A \cdot O B = O B \cdot O C = O C \cdot O A = k (0 < k < 1)

をみたしている。ただし， $O A \cdot O B$ は $O A$ と $O B$ の内積を表す。三角形 $A B C$ の重心を $M$ とする。線分 $O M$ 上に点 $P$ があり， $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ をみたしている。 $\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣}$ と $∣ A P ∣$ をそれぞれ $k$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期文系第1問

方針

$a = O A$ , $b = O B$ , $c = O C$ とおく。重心の位置ベクトル $m = O M$ を求め， $P$ が $O M$ 上にあることを $O P = t m$ と表す。条件 $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ は $(a - t m) \cdot (b - t m) = 0$ であり，これを $t$ について解く。最後に同じ関係式を用いて $∣ A P ∣$ を簡単にする。

解答

$a = O A$ , $b = O B$ , $c = O C$ とおくと，

O M = m = \frac{a + b + c}{3}

である。条件より

∣ m ∣^{2} = \frac{3 + 6 k}{9} = \frac{1 + 2 k}{3}

であり，また $m \cdot a = m \cdot b = \frac{1 + 2 k}{3}$ である。

$P$ は線分 $O M$ 上にあるから $O P = t m (0 ≦ t ≦ 1)$ とおける。 $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ より

(a - t m) \cdot (b - t m) = 0

である。したがって

k - 2 t \frac{1 + 2 k}{3} + t^{2} \frac{1 + 2 k}{3} = 0

となり，

t^{2} - 2 t + \frac{3 k}{1 + 2 k} = 0

を得る。これを解くと

t = 1 \pm \frac{1 - k}{1 + 2 k}

である。 $0 < k < 1$ では $0 < \frac{1 - k}{1 + 2 k} < 1$ であり， $0 ≦ t ≦ 1$ をみたすのは

t = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k}

である。よって

\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣} = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k} .

さらに

∣ A P ∣^{2} = ∣ a - t m ∣^{2} = 1 - 2 t \frac{1 + 2 k}{3} + t^{2} \frac{1 + 2 k}{3}

であり，上の直交条件から右辺は $1 - k$ に等しい。したがって

∣ A P ∣ = 1 - k

である。

横浜国立大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

横浜国立大学 2020年度
文系数学第1問