横浜国立大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に双曲線 $C_{1} : y = \frac{1}{x}$ がある。 $C_{1}$ 上の点 $P (t, \frac{1}{t}) (t > 0)$ における $C_{1}$ の接線を $l$ とする。放物線 $C_{2} : y = x^{2} + a x + b$ （ $a, b$ は実数）は点 $P$ を通り、 $C_{1}$ と第3象限において共有点をただ1つもつとする。 $C_{2}$ と $l$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) $a, b$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

(3) $S$ を $t$ の式で表せ。

(4) $t$ が正の実数全体を動くとき、 $S$ の最小値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第5問

方針

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点は $x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = 0$ の解で表される。正の解 $t$ を1つもち、第3象限で共有点がただ1つであるため、残りの負の解は重解になる。これで $a, b$ を求め、直線と放物線の2交点間の面積公式を積分で出す。

解答

(1)

$y = 1/ x$ の導関数は $- 1/ x^{2}$ である。よって $P (t, 1/ t)$ における接線は

y - \frac{1}{t} = - \frac{1}{t ^{2}} (x - t)

すなわち

y = - \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t}

である。

(2)

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の $x$ 座標は

x^{2} + a x + b = \frac{1}{x}

すなわち

x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = 0

の解である。この方程式は $x = t$ を解にもつ。第3象限の共有点がただ1つであるため、残り2つの解は同じ負の数である。これを $- u (u > 0)$ とおくと、解の積より

t u^{2} = 1

であるから $u = 1/ t$ である。したがって

x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = (x - t) (x + \frac{1}{t})^{2}

である。係数を比較して

a = \frac{2}{t} - t, b = \frac{1}{t} - 2 t

を得る。

(3)

(1)の直線と $C_{2}$ の差を考える。 $C_{2} - l = 0$ の一つの解は $x = t$ である。もう一つの解を $s$ とすると

t s = b - \frac{2}{t} = - \frac{1}{t} - 2 t

より

s = - \frac{1}{t ^{2}} - \frac{2}{t}

である。 $s < x < t$ で直線が放物線の上にあるから

S = \int_{s}^{t} {l - C_{2}} d x = \int_{s}^{t} - (x - s) (x - t) d x = \frac{( t - s ) ^{3}}{6}

である。したがって

S = \frac{1}{6} (t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}})^{3}

である。

(4)

D = t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}}

を最小にすればよい。 $u = t (u > 0)$ とおくと

D = u^{2} + \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{4}}

である。微分して

\frac{d D}{d u} = 2 u - \frac{2}{u ^{2}} - \frac{4}{u ^{5}} = \frac{2 ( u ^{6} - u ^{3} - 2 )}{u ^{5}}

である。よって $u^{3} = 2$ のとき最小となる。このとき $t = u^{2} = 2^{2/3}$ であり、 $u^{6} = 4$ から

D_{m i n} = u^{2} + u^{2} + \frac{u ^{2}}{4} = \frac{9 u ^{2}}{4}

である。したがって

S_{m i n} = \frac{1}{6} (\frac{9 u ^{2}}{4})^{3} = \frac{243}{32}

である。

横浜国立大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2018年度
理系数学第5問