横浜国立大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{c o s ^{2} x} d x$ を求めよ。

(2) $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で定義された関数 $f (x)$ が

f (x) cos^{2} x = π - \frac{x}{lo g 2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (t) d t

をみたすとき、 $f (x)$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第1問

(1) は $u = x$ 、 $d v = d x / cos^{2} x$ として部分積分する。(2) は $C = \int_{0}^{π /3} f (t) d t$ とおくと $f (x)$ が $C$ を含む形で表せるので、両辺を積分して $C$ を決定する。

部分積分により

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} tan x d x

である。 $\int tan x d x = - lo g (cos x)$ より

\int_{0}^{\frac{π}{3}} tan x d x = lo g 2

であるから

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = \frac{π 3}{3} - lo g 2

である。

C = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (t) d t

とおく。与式より

f (x) = \frac{π - \frac{C x}{l o g 2}}{cos ^{2} x}

である。これを $0$ から $π /3$ まで積分すると

C = π \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{cos ^{2} x} - \frac{C}{lo g 2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x

である。したがって(1)を用いて

C = π 3 - \frac{C}{lo g 2} (\frac{π 3}{3} - lo g 2)

となる。これを解くと

C = 3 lo g 2

である。よって

f (x) = \frac{π - 3 x}{cos ^{2} x}

である。