横浜国立大学 2017年度理系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ は以下の条件をみたす。

(i) $a_{1} = 1, a_{n} \neq = 0 (n = 2, 3, 4, \dots)$

(ii) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して、 $b_{n}$ は $\frac{1}{a _{n}}$ より大きい最小の自然数である。

(iii) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して、 $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{b _{n}}$ が成り立つ。

次の問いに答えよ。

(1) $b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}$ を求めよ。

(2) $b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$ を求めよ。

(3) $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b _{k}}$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期理系第4問

初めの数項を計算して $a_{n + 1} = 1/ (b_{1} b_{2} \dots b_{n})$ という形を予想する。帰納法でこれを示すと、 $b_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1} + 1$ も従い、(2) と (3) はすぐに求まる。

$a_{1} = 1$ であるから、 $1/ a_{1} = 1$ より

b_{1} = 2

である。したがって

a_{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

である。次に $1/ a_{2} = 2$ より $b_{2} = 3$ であり、

a_{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

である。さらに $1/ a_{3} = 6$ より

b_{3} = 7

である。

数学的帰納法で

a_{n + 1} = \frac{1}{b _{1} b _{2} \dots b _{n}}

を示す。 $n = 1$ では $a_{2} = 1/2 = 1/ b_{1}$ で成り立つ。

$a_{n} = 1/ (b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1})$ とする。このとき

\frac{1}{a _{n}} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1}

であるから、 $b_{n}$ はこれより大きい最小の自然数、すなわち

b_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1} + 1

である。よって

a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{b _{n}} = \frac{1}{b _{1} \dots b _{n - 1}} - \frac{1}{b _{n}} = \frac{1}{b _{1} b _{2} \dots b _{n}}

である。したがってすべての $n$ で成り立つ。

よって

b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{n + 1} = 1

である。

漸化式 $a_{n + 1} = a_{n} - 1/ b_{n}$ より

k = 1 \sum n \frac{1}{b _{k}} = a_{1} - a_{n + 1} = 1 - a_{n + 1}

である。(2)より $a_{n + 1} = 1/ (b_{1} b_{2} \dots b_{n})$ であり、分母は限りなく大きくなるから $a_{n + 1} \to 0$ である。したがって

n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{b _{k}} = 1

である。