横浜国立大学 2017年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{3 sin x + 4 cos x}

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期理系第1問(2)

半角の置換 $u = tan (x /2)$ を用いる。 $sin x = 2 u / (1 + u^{2})$ 、 $cos x = (1 - u^{2}) / (1 + u^{2})$ 、 $d x = 2 d u / (1 + u^{2})$ により有理関数の積分に直し、部分分数分解する。

u = tan \frac{x}{2}

とおくと、 $x = 0$ で $u = 0$ 、 $x = π /2$ で $u = 1$ である。また

sin x = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}, cos x = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}, d x = \frac{2 d u}{1 + u ^{2}}

である。したがって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{3 sin x + 4 cos x} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )}

となる。

ここで

\frac{1}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 - u} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 u + 1}

である。よって

\int_{0}^{1} \frac{d u}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )} = \frac{1}{5} [- lo g (2 - u) + lo g (2 u + 1)]_{0}^{1}

であるから

\frac{1}{5} lo g 6

を得る。