横浜国立大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ を正の整数とし、 $b$ を整数とする。 $x$ についての方程式

a^{2} x^{3} + ab x^{2} - b^{2} x - 5 = 0

は異なる3つの実数解をもち、1つの解が整数で、残り2つの解の積が整数である。 $a, b$ の組をすべて求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期文系第2問

方針

整数解を $m$ とおき、整数係数方程式から $m$ が $5$ の約数に限られることを使う。さらに解と係数の関係で残り2解の積を $5/ (a^{2} m)$ と表し、これが整数である条件から $a = 1$ に絞る。最後に $m = \pm 1, \pm 5$ を代入して $b$ を求め、重解を除く。

解答

整数解を $m$ とする。定数項が $- 5$ であるから、整数解 $m$ は $5$ の約数であり、

m = \pm 1, \pm 5

である。

3つの解を $m, r, s$ とすると、解と係数の関係より

m r s = \frac{5}{a ^{2}}

である。残り2つの解の積 $r s$ は整数なので

r s = \frac{5}{a ^{2} m}

が整数である。 $m = \pm 1, \pm 5$ を考えると、いずれの場合も $a = 1$ でなければならない。

よって方程式は

x^{3} + b x^{2} - b^{2} x - 5 = 0

となる。 $m = 1$ を代入すると

1 + b - b^{2} - 5 = 0

すなわち $b^{2} - b + 4 = 0$ となり、整数解はない。

$m = 5$ を代入すると

125 + 25 b - 5 b^{2} - 5 = 0

より

(b - 8) (b + 3) = 0

である。したがって $b = 8, - 3$ である。

$m = - 1$ を代入すると

- 1 + b + b^{2} - 5 = 0

より

(b + 3) (b - 2) = 0

である。したがって $b = - 3, 2$ である。

$m = - 5$ を代入すると

b^{2} + 5 b - 26 = 0

となり、整数解はない。

候補は $b = 8, - 3, 2$ である。 $b = - 3$ のとき

x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5 = (x - 5) (x + 1)^{2}

となり、異なる3つの実数解をもたないので除く。 $b = 8$ のとき

x^{3} + 8 x^{2} - 64 x - 5 = (x - 5) (x^{2} + 13 x + 1)

であり、2次式の判別式は正である。 $b = 2$ のとき

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1) (x^{2} + x - 5)

であり、2次式の判別式は正である。

以上より

(a, b) = (1, 8), (1, 2)

である。

横浜国立大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

横浜国立大学 2017年度
文系数学第2問