横浜国立大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x$ がすべての実数を動くとき、次の関数のとり得る値の範囲を求めよ。

(1) $f (x) = sin x - cos x$

(2) $g (x) = 2∣ sin^{3} x - cos^{3} x ∣ + sin x cos x + sin x - cos x$

出典：横浜国立大学 2017年度前期文系第1問

$u = sin x - cos x$ とおくと $- 2 ≦ u ≦ 2$ であり、 $sin x cos x$ と $sin^{3} x - cos^{3} x$ が $u$ だけで表せる。絶対値のため $u ≧ 0$ と $u ≦ 0$ に分け、各区間で増減を調べる。

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

であるから、とり得る値の範囲は

- 2 ≦ f (x) ≦ 2

である。

$u = sin x - cos x$ とおくと、 $- 2 ≦ u ≦ 2$ である。また

u^{2} = 1 - 2 sin x cos x

より

sin x cos x = \frac{1 - u ^{2}}{2}

である。さらに

sin^{3} x - cos^{3} x = (sin x - cos x) (1 + sin x cos x) = \frac{u ( 3 - u ^{2} )}{2}

であり、 $3 - u^{2} > 0$ である。

よって

g = ∣ u ∣ (3 - u^{2}) + \frac{1 - u ^{2}}{2} + u

である。 $0 ≦ u ≦ 2$ では

g = - u^{3} - \frac{1}{2} u^{2} + 4 u + \frac{1}{2}

であり、導関数は

- 3 u^{2} - u + 4 = - (u - 1) (3 u + 4)

である。したがってこの範囲での最大値は $u = 1$ のとき $3$ である。

$- 2 ≦ u ≦ 0$ では

g = u^{3} - \frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \frac{1}{2}

であり、導関数は

3 u^{2} - u - 2 = (u - 1) (3 u + 2)

である。この範囲での最小値は端点 $u = - 2$ のときで、

g = - \frac{1}{2}

である。

以上より、とり得る値の範囲は

- \frac{1}{2} ≦ g (x) ≦ 3

である。