問題
四面体 があり， とする．三角形 の重心を とする．点 を をみたす点とし，平面 と直線 の交点を とする．次の問いに答えよ．
(1) を を用いて表せ．
(2) 三角形 の面積を ，三角形 の面積を とするとき， を求めよ．
(3) 四面体 の体積を ，四面体 の体積を とするとき， を求めよ．
出典：横浜国立大学 2016年度 前期 文理共通 第3問
方針
(1) は を直線 上の点として表す一方，平面 上の点としても表し， の係数を比較する。(2) は三角形 における の重心座標のうち，頂点 に対応する係数が高さの比になることを使う。(3) は が一直線上にあるので，平面 への距離の比を から求める。
解答
(1)
は三角形 の重心であるから
である。 は直線 上にあるので
とおく。一方， は平面 上にあるから
と表せる。係数比較により
である。したがって であり， から 。よって
である。
(2)
(1) より，三角形 において
と表される。したがって，辺 を底辺としたときの の高さは， の高さの 倍である。よって
であり，求める比は
である。
(3)
は を に内分する。平面 は を含むので， から平面 までの距離と から平面 までの距離の比は
である。また (2) より 。したがって
である。