横浜国立大学 2016年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は

a_{1} = 5, a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = \frac{2}{3} a_{n} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　 $a_{2}, a_{3}$ を求めよ．

(2)　 $a_{n + 2}$ を $a_{n}, a_{n + 1}$ を用いて表せ．

(3)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：横浜国立大学 2016年度前期文理共通第1問

(1) は与式に $n = 1, 2$ を代入して順に求める。(2) は $n$ と $n + 1$ の式を差し，引き算で和を消去する。(3) は得られた2項間でない線形漸化式を特性方程式で解き，初期値から定数を決める。

$n = 1$ とすると

25 = \frac{2}{3} \cdot 5 a_{2}

より $a_{2} = \frac{15}{2}$ である。次に $n = 2$ とすると

25 + (\frac{15}{2})^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{2} a_{3} = 5 a_{3}

より $a_{3} = \frac{65}{4}$ である。

与式の左辺は正であるから，すべての $n$ について $a_{n} \neq = 0$ である。 $n + 1$ の式から $n$ の式を引くと

a_{n + 1}^{2} = \frac{2}{3} a_{n + 1} a_{n + 2} - \frac{2}{3} a_{n} a_{n + 1}

である。 $a_{n + 1} \neq = 0$ より

a_{n + 2} = a_{n} + \frac{3}{2} a_{n + 1}

を得る。

特性方程式は

r^{2} = \frac{3}{2} r + 1, 2 r^{2} - 3 r - 2 = 0

であるから， $r = 2, - \frac{1}{2}$ である。したがって

a_{n} = A 2^{n - 1} + B (- \frac{1}{2})^{n - 1}

とおける。 $a_{1} = 5$ ， $a_{2} = \frac{15}{2}$ より

A + B = 5, 2 A - \frac{1}{2} B = \frac{15}{2}

である。これを解いて $A = 4, B = 1$ 。よって

a_{n} = 2^{n + 1} + (- \frac{1}{2})^{n - 1}

である。