横浜国立大学 2015年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1)　2次関数 $f (x)$ が

f (x) = 6 x^{2} - (\int_{0}^{1} f (t) d t)^{2}

をみたすとき， $f (x)$ を求めよ．

(2)　2次関数 $g (x)$ が

g (x) = 4 x^{2} - (\int_{0}^{1} ∣ g (t) ∣ d t)^{2}

をみたすとき， $g (x)$ を求めよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期文系第2問

方針

(1) 積分値を $A$ とおき，両辺を積分して $A$ の方程式を作る。(2) は $B = \int_{0}^{1} ∣ g (t) ∣ d t$ とおき， $g (x) = 4 x^{2} - B^{2}$ と表す。絶対値の符号が変わる位置 $x = B /2$ を用い， $0 ≦ B ≦ 2$ と $B ≧ 2$ に分けて調べる。

解答

(1)

A = \int_{0}^{1} f (t) d t

とおくと， $f (x) = 6 x^{2} - A^{2}$ である。両辺を $0$ から $1$ まで積分して

A = 2 - A^{2}

を得る。したがって $A^{2} + A - 2 = 0$ より $A = 1, - 2$ である。よって

f (x) = 6 x^{2} - 1, f (x) = 6 x^{2} - 4

である。

(2)

B = \int_{0}^{1} ∣ g (t) ∣ d t (B ≧ 0)

とおくと， $g (x) = 4 x^{2} - B^{2}$ である。

まず $B ≧ 2$ とすると， $0 ≦ t ≦ 1$ で $4 t^{2} - B^{2} ≦ 0$ だから

B = \int_{0}^{1} (B^{2} - 4 t^{2}) d t = B^{2} - \frac{4}{3}

となる。しかしこの方程式の非負解は $2$ 未満であり， $B ≧ 2$ に反する。

次に $0 ≦ B ≦ 2$ とする。このとき符号が変わる点は $t = B /2$ であるから

B = \int_{0}^{B /2} (B^{2} - 4 t^{2}) d t + \int_{B /2}^{1} (4 t^{2} - B^{2}) d t = \frac{4}{3} - B^{2} + \frac{2}{3} B^{3} .

したがって

2 B^{3} - 3 B^{2} - 3 B + 4 = 0

である。因数分解すると

(B - 1) (2 B^{2} - B - 4) = 0

であるから， $0 ≦ B ≦ 2$ をみたす解は

B = 1, B = \frac{1 + 33}{4}

である。よって

g (x) = 4 x^{2} - 1, g (x) = 4 x^{2} - \frac{17 + 33}{8}

である。

横浜国立大学 2015年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2015年度
文系数学第2問