横浜国立大学 2015年度文系数学第1問解答・解説

問題

大小2つのさいころを投げ，大きいさいころの出た目を $a$ ，小さいさいころの出た目を $b$ とする． $a, b$ に対し， $x y$ 平面上の曲線 $y = x^{3} - a x$ を $C$ とし， $C$ を $x$ 軸の正の方向に $b$ だけ平行移動した曲線を $D$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $C$ と $D$ が異なる2点で交わる確率を求めよ．

(2)　 $C$ と $D$ が異なる2点で交わり，かつ，その2点を通る直線の傾きが正である確率を求めよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期文系第1問

方針

(1) 平行移動後の曲線を式で表し，交点の $x$ 座標が満たす二次方程式を作る。異なる2点で交わる条件は判別式が正であること。(2) は2つの交点を結ぶ直線の傾きを，二次方程式の解の和と積で表して正条件を加え，さいころの出目を数える。

解答

(1)

曲線 $D$ は

y = (x - b)^{3} - a (x - b)

である。交点の $x$ 座標は

x^{3} - a x = (x - b)^{3} - a (x - b)

をみたす。整理すると

3 x^{2} - 3 b x + b^{2} - a = 0

である。異なる2点で交わる条件はこの二次方程式が異なる2つの実数解をもつことだから，判別式より

9 b^{2} - 12 (b^{2} - a) > 0,

すなわち

4 a > b^{2}

である。

$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ について条件をみたす $a$ の個数は順に

6, 5, 4, 2, 0, 0

である。したがって求める確率は

\frac{17}{36}

である。

(2)

2つの交点の $x$ 座標を $x_{1}, x_{2}$ とすると

x_{1} + x_{2} = b, x_{1} x_{2} = \frac{b ^{2} - a}{3}

である。曲線 $C$ 上の2点を通る直線の傾きは

\frac{( x _{1}^{3} - a x _{1} ) - ( x _{2}^{3} - a x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} = x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - a = \frac{2 ( b ^{2} - a )}{3}

である。したがって傾きが正である条件は $b^{2} > a$ である。

よって必要条件は

\frac{b ^{2}}{4} < a < b^{2}

である。 $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ についてこの条件をみたす $a$ の個数は順に

0, 2, 4, 2, 0, 0

である。したがって求める確率は

\frac{8}{36} = \frac{2}{9}

である。

横浜国立大学 2015年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2015年度
文系数学第1問