問題
とし，関数
を考える。また，関数 は，すべての整数 について
で定められるとする。
(1) において であることを示せ。
(2) とする。 における2つの曲線 の交点の個数を求めよ。
方針
は周期2の折れ線関数で，常に である。(1)ではまず を直接評価し， では の単調増加と を使う。(2)では(1)によって を除外できるので， の4区間だけを調べる。 と置くと となり，各区間で の単調性と端点の符号から交点数を決められる。
解答
(1)
まず を考える。この区間では定義より である。 とおくと であり，
である。相加相乗平均より
である。等号が成り立つには すなわち が必要である。しかし ， では だから等号は成り立たない。よって である。
次に を考える。関数 は各区間で0から1まで動く折れ線関数なので，常に である。一方， では より は単調増加する。したがって では である。さらに は と同値であり， なので確かに成り立つ。よって でも である。
以上より， において が成り立つ。
(2)
以後 とする。 とおくと，この範囲では である。(1)より には交点がないので， だけを調べればよい。
まず では である。この区間で とおくと， であるから は単調減少する。また である。したがってこの区間に交点は1個ある。
次に では である。 とおくと で， である。この式の に関する導関数は だから単調増加する。端では である。よってこの区間にも交点は1個ある。
次に では である。再び とおくと で， である。この式の導関数は であり，， から である。したがって単調減少する。左端では であり，右端に近づけると
となる。この値の符号を調べると， は， より と同値である。よって のとき負， のとき0， のとき正である。なお である。
最後に では である。 とおくと で， である。この式の導関数は であるから単調増加する。左端 での値は であり，右端では正になる。
以上をまとめる。最初の2区間で交点は常に2個ある。さらに， のときは に交点がない。 のときは でちょうど1個交点がある。 のときは と にそれぞれ1個ずつ交点がある。
したがって，求める交点の個数は
である。