東京大学 2026年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の実数 $k$ および $α < β$ となる実数 $α, β$ が次の条件を満たすように動く。

条件：座標平面上の放物線

C : y = k (x - α) (β - x)

の頂点は $(- 3, 1)$ であり， $C$ は $y$ 軸と $- 2 ≦ y ≦ 0$ の範囲で交わる。

このとき， $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ のとりうる値の範囲を求めよ。

出典：東京大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

頂点が $(- 3, 1)$ であることから，放物線の2つの $x$ 軸との交点を頂点の左右に同じ距離だけ離して表す。すなわち $α = - 3 - d, β = - 3 + d (d > 0)$ と置くと，頂点の高さの条件から $k d^{2} = 1$ が出る。これにより放物線は $y = 1 - (x + 3)^{2} / d^{2}$ と書ける。あとは $y$ 軸との交点の高さが $[- 2, 0]$ に入る条件を $d$ の範囲に直し，面積 $S$ を $d$ の一次式として求める。

解答

頂点の $x$ 座標が $- 3$ であり， $α < β$ であるから，ある正の実数 $d$ を用いて $α = - 3 - d, β = - 3 + d$ と表せる。このとき $(x - α) (β - x) = (x + 3 + d) (- x - 3 + d) = d^{2} - (x + 3)^{2}$ である。したがって放物線は $y = k {d^{2} - (x + 3)^{2}}$ である。

頂点は $x = - 3$ のときで，その $y$ 座標は $k d^{2}$ である。頂点が $(- 3, 1)$ だから $k d^{2} = 1$ である。特に $k = 1/ d^{2} > 0$ であり，放物線は $y = 1 - \frac{( x + 3 ) ^{2}}{d ^{2}}$ と書ける。

次に， $C$ と $y$ 軸との交点を調べる。 $x = 0$ を代入すると，その $y$ 座標は $1 - \frac{9}{d ^{2}}$ である。条件より $- 2 ≦ 1 - \frac{9}{d ^{2}} ≦ 0$ でなければならない。右側の不等式から $1 ≦ \frac{9}{d ^{2}}$ すなわち $d^{2} ≦ 9$ を得る。また左側の不等式から $\frac{9}{d ^{2}} ≦ 3$ すなわち $d^{2} ≧ 3$ を得る。よって $3 ≦ d^{2} ≦ 9$ であり， $d > 0$ だから $3 ≦ d ≦ 3$ である。

放物線と $x$ 軸で囲まれる部分は， $x = - 3 - d$ から $x = - 3 + d$ までである。 $u = x + 3$ と置くと

S = \int_{- 3 - d}^{- 3 + d} (1 - \frac{( x + 3 ) ^{2}}{d ^{2}}) d x = \int_{- d}^{d} (1 - \frac{u ^{2}}{d ^{2}}) d u

である。被積分関数は偶関数なので

S = 2 \int_{0}^{d} (1 - \frac{u ^{2}}{d ^{2}}) d u = 2 [u - \frac{u ^{3}}{3 d ^{2}}]_{0}^{d} = 2 (d - \frac{d}{3}) = \frac{4 d}{3}

である。

したがって $3 ≦ d ≦ 3$ より，求める範囲は $\frac{4 3}{3} ≦ S ≦ 4$ である。端点はそれぞれ $d = 3, 3$ で実際に実現する。

東京大学 2026年度文系数学 第1問

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