東京大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

半径1の球面上の相異なる4点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ が

A B = 1, A C = B C, A D = B D, cos ∠ A C B = cos ∠ A D B = \frac{4}{5}

を満たしているとする。

(1) 三角形 $A B C$ の面積を求めよ。

(2) 四面体 $A B C D$ の体積を求めよ。

出典：東京大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

(1) は $A C = B C$ と余弦定理から辺 $A C$ を求め， $sin ∠ A C B$ を使って面積を出す。(2) は球の中心を原点に取り， $A, B$ を $z = 3 /2$ 上の対称な2点に置く。 $A C = B C$ から $C, D$ は平面 $x = 0$ 上にあり，球面条件と $A C^{2} = A D^{2} = 5/2$ で座標が2点に絞られる。最後は行列式で体積を出し，別計算として底面積と高さでも同じ値を確認できる。

解答

(1)

$A C = B C = u$ とおく。三角形 $A B C$ に余弦定理を用いると

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 A C \cdot B C cos ∠ A C B = 2 u^{2} (1 - \frac{4}{5}) = \frac{2 u ^{2}}{5}

である。 $A B = 1$ より $u^{2} = \frac{5}{2}$ を得る。また $0 < ∠ A C B < π$ で $cos ∠ A C B = 4/5$ だから $sin ∠ A C B = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = \frac{3}{5}$ である。したがって

[A B C] = \frac{1}{2} A C \cdot B C sin ∠ A C B = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4}

である。

(2)

球の中心を原点とし，線分 $A B$ が $x$ 軸に平行になるように座標を取る。 $A B = 1$ ，半径が1であることから

A (- \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}), B (\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2})

とおける。 $A C = B C$ より， $C$ は $A B$ の垂直二等分平面 $x = 0$ 上にある。 $C = (0, y, z)$ とおくと，球面上の点なので $y^{2} + z^{2} = 1$ である。また(1)より $A C^{2} = u^{2} = 5/2$ だから $(\frac{1}{2})^{2} + y^{2} + (z - \frac{3}{2})^{2} = \frac{5}{2}$ である。左辺を整理し， $y^{2} + z^{2} = 1$ を使うと $\frac{1}{4} + 1 - 3 z + \frac{3}{4} = \frac{5}{2}$ すなわち $2 - 3 z = \frac{5}{2}$ である。よって $z = - \frac{1}{2 3}$ であり，さらに $y^{2} = 1 - z^{2} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ となる。したがって $y = \pm \frac{11}{2 3}$ である。

点 $D$ も $A D = B D$ ， $cos ∠ A D B = 4/5$ を満たすので，同じ2点のどちらかである。 $C, D$ は相異なるから，符号が反対の2点でなければならない。よって，向きを入れ替えて

C (0, \frac{11}{2 3}, - \frac{1}{2 3}), D (0, - \frac{11}{2 3}, - \frac{1}{2 3})

としてよい。

このとき $A B = (1, 0, 0),$

A C = (\frac{1}{2}, \frac{11}{2 3}, - \frac{2}{3}), A D = (\frac{1}{2}, - \frac{11}{2 3}, - \frac{2}{3})

である。したがって四面体の体積 $V$ は

V = \frac{1}{6} det (A B, A C, A D) = \frac{1}{6} det 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{11}{2 3} - \frac{11}{2 3} 0 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2 11}{3} = \frac{11}{9}

である。

別解。体積の最後だけは底面積と高さでも確認できる。平面 $A B C$ は $A B$ に平行なので，方程式を $4 y + 11 z - \frac{33}{2} = 0$ と表せる。点 $D$ からこの平面までの距離は

\frac{4 ( - \frac{11}{2 3} ) + 11 ( - \frac{1}{2 3} ) - \frac{33}{2}}{16 + 11} = \frac{4 11}{9}

である。(1)より $[A B C] = 3/4$ だから $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4 11}{9} = \frac{11}{9}$ となり，同じ値を得る。

東京大学 2023年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2023年度
文系数学第4問