東京大学 2020年度
文系数学 第3問

解答

(1)

$C$上の点を $P=(x,x^2-2x+4)(x\geqq 0)$ とする。$x>0$のとき、半直線$OP$の傾きは $\frac{x^2-2x+4}{x}=x-2+\frac{4}{x}$ である。相加相乗平均より $x+\frac{4}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$ であり、等号は$x=2$のとき成り立つ。したがって傾きは $x-2+\frac{4}{x}\geqq 2$ を満たし、最小値2をとる。また$x\to 0+0$または$x\to \infty$で傾きは限りなく大きくなるので、2以上のすべての値をとる。

$x=0$の点は$(0,4)$であり、半直線は正の$y$軸である。これは傾きが無限大になる場合に対応する。よって、半直線$OP$が通過する領域は $\boxed{x\geqq 0,y\geqq 2x}$ である。境界の半直線$y=2x$は$x=2$の点で実現し、正の$y$軸も含まれる。

% 図は省略

(2)

$OA$の傾きを$m$とする。(1)より $2\leqq m$ であり、鉛直方向も極限として含まれる。$OA$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とすると $\arctan 2\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ である。

3点$O,A,B$が正三角形の頂点になるには、半直線$OB$は半直線$OA$を$60^{\circ }$、すなわち$\pi /3$だけ時計回りまたは反時計回りに回転した方向でなければならない。したがって直線$l:y=ax$の傾き$a$は

である。

まず$\theta -\pi /3$については $\arctan 2-\frac{\pi }{3}\leqq \theta -\frac{\pi }{3}\leqq \frac{\pi }{6}$ であり、この範囲では正接は単調増加する。よって $\tan \left(\arctan 2-\frac{\pi }{3}\right)\leqq a\leqq \tan \frac{\pi }{6}$ である。加法定理より

であり、$\tan (\pi /6)=1/\sqrt{3}$である。したがって $\frac{5\sqrt{3}-8}{11}\leqq a\leqq \frac{1}{\sqrt{3}}$ を得る。

次に$\theta +\pi /3$については $\arctan 2+\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}\leqq \frac{5\pi }{6}$ であり、この範囲は第2象限内にあるので、正接はやはり単調増加する。よって $\tan \left(\arctan 2+\frac{\pi }{3}\right)\leqq a\leqq \tan \frac{5\pi }{6}$ である。加法定理より

であり、$\tan (5\pi /6)=-1/\sqrt{3}$である。

以上より、求める範囲は $\boxed{-\frac{8+5\sqrt{3}}{11}\leqq a\leqq -\frac{1}{\sqrt{3}}}$ または $\boxed{\frac{5\sqrt{3}-8}{11}\leqq a\leqq \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。

別解。

角度を明示せず、傾きの変換だけで処理してもよい。傾き$m$の直線を$\pi /3$だけ回転すると、傾きは $\frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}m},\frac{m-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}m}$ になる。$m\geqq 2$をそれぞれ代入し、単調性を調べると、上で得た2つの区間に一致する。図形的には本解の角度表示の方が、どちらの回転に対応する区間かを把握しやすい。