問題
，とする。座標平面上の曲線
が，以下の2条件を満たすとする。
条件1： Cは軸に接する。
条件2： 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に，座標と座標がともに整数である点がちょうど1個ある。
をで表し，のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず軸に接する条件を、三次式と導関数が共通の零点をもつ条件に直す。からは接点にならず、接点は、したがってと決まる。以後はで囲まれる開領域内の格子点を数える。だけで2個以上入る場合を先に除き、残るの範囲で整数の座標がとだけになり、では整数点が入らないことを確認する。
解答
とおく。曲線が軸に接するとは、方程式が重解をもつことである。したがってと が共通の解をもつ。
共通解の候補はである。ところがなので、は軸との接点ではない。よって接点はであり、 から を得る。このとき である。
となるのはとで、は重解である。ではかつなのでである。したがって、軸とで囲まれた開領域は で表される。
まずは常にを満たす。このとき上端の高さは である。もしなら、とがともに開領域に入るので、格子点は少なくとも2個になってしまう。したがって条件を満たすには が必要であり、特にである。
これにより、開区間に入る整数は、と、のときのだけである。が入る場合について調べると である。いまなのでであり、 となる。したがって上には正の整数は存在しない。
よって格子点は上だけを見ればよい。開領域なので、上に格子点がちょうど1個ある条件は である。左の不等号が厳しいのは、ではが境界上にあり、領域に含まれないためである。一方、ではだけが入り、は境界上なので含まれない。
以上より である。