問題
正八角形の頂点を反時計回りにA，B，C，D，E，F，G，Hとする。また，投げたとき表裏の出る確率がそれぞれのコインがある。
点Pが最初に点Aにある。次の操作を10回繰り返す。
操作： コインを投げ，表が出れば点Pを反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点Pを時計回りに隣接する頂点に移動させる。
例えば，点Pが点Hにある状態で，投げたコインの表が出れば点Aに移動させ，裏が出れば点Gに移動させる。
以下の事象を考える。
事象S： 操作を10回行った後に点Pが点Aにある。
事象T： 1回目から10回目の操作によって，点Pは少なくとも1回，点Fに移動する。
(1) 事象Sが起こる確率を求めよ。
(2) 事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ。
方針
反時計回りを 、時計回りを として、10回後の位置を8で割った余りで表す。(1)は表の回数 だけで決まり、 を満たす を数える。(2)は直接「Fに少なくとも1回移動」を数えるより、事象 から「Fを一度も踏まずにAへ戻る」場合を引く方が整理しやすい。Fを禁止した状態で、各回の到達通り数を隣接頂点への移動で更新し、10回後にAへいる本数を求める。
解答
(1)
Aを0、Bを1、、Hを7と番号づけ、反時計回りの移動を 、時計回りの移動を とする。表が出た回数を とすると、裏が出た回数は であり、10回後の位置は だけAからずれる。
10回後にAにある条件は である。これは と同値であり、 から である。よって
である。
(2)
まず、 が起こる操作列は(1)より272通りである。このうち、点Fに一度も移動しないものを数えて引く。
Fを除いて、 回操作後に各頂点にいる通り数を数える。Fへ移動する操作は許さない。偶数回ではA,C,E,Gにしかいないので、必要な通り数を表にすると
である。例えば、4回後のAの6通りは、2回後のB,Hに相当する位置から戻る通り数を足して得られる、というように、各成分は直前の隣接2頂点から更新している。
したがって、10回後にAへ戻り、かつFに一度も移動しない操作列は206通りである。ゆえに と がともに起こる操作列は 通りである。各操作列の確率はすべて なので、求める確率は である。