問題
座標平面上で座標と座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則(a)，(b)に従って動く点を考える。
(a) 最初に，点は原点にある。
(b) ある時刻で点が格子点にあるとき，その1秒後の点の位置は，隣接する格子点，，，のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれである。
(1) 最初から1秒後の点の座標をとする。となる確率を求めよ。
(2) 点が，最初から6秒後に直線上にある確率を求めよ。
出典：東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
直線上にある条件を，差が0である条件に置き換える。1回の移動では，上または左なら，右または下ならだけ変化し，それぞれの確率はである。(1)は1秒後の4点を直接数え，(2)は6回のとが同数になる場合を二項分布として数える。
解答
(1)
1秒後に点が到達できる点は の4点であり，いずれも確率である。このうち，座標をとしたとき を満たすのは の2点である。したがって求める確率は である。
(2)
とおく。点が右へ動くとが1増えるのではだけ変化し，下へ動いてもが1減るのではだけ変化する。一方，上または左へ動くとはだけ変化する。
各回でがだけ変化する確率は であり，だけ変化する確率もである。最初は原点なのでである。6秒後に直線上にあるためには，6回の変化の和が0であればよく，これはが3回，が3回起こることと同値である。
したがって求める確率は である。