問題
1辺の長さが1の正六角形が与えられている。点が辺上を，点が辺上をそれぞれ独立に動くとき，線分をに内分する点が通りうる範囲の面積を求めよ。
出典：東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
とをそれぞれ辺上の媒介変数で表し，からと書く。するとの変位は，方向に長さ，方向に長さだけ独立に動く。したがって通過範囲は平行四辺形であり，正六角形の辺と辺のなす角を用いて面積を求める。
解答
，とおく。正六角形の1辺の長さは1なので であり，辺と辺のなす角はである。
点が辺上を動くので，を用いて と表せる。同様に，を用いて と表せる。 は線分をに内分する点，すなわちを満たす点であるから である。これに上の表示を代入すると となる。とは互いに独立にからまで動くので，の通りうる範囲は，方向の長さの辺と，方向の長さの辺で張られる平行四辺形である。
したがって求める面積は
である。