東京大学 2009年度文系数学第4問解答・解説

問題

2次以下の整式 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ に対し

S = \int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) ∣ d x

を考える。

(1) $f (0) = 0$ ， $f (2) = 2$ のとき $S$ を $a$ の関数として表せ。

(2) $f (0) = 0$ ， $f (2) = 2$ をみたしながら $f$ が変化するとき， $S$ の最小値を求めよ。

出典：東京大学 2009年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

条件 $f (0) = 0$ ， $f (2) = 2$ から $c = 0$ ， $b = 1 - 2 a$ を先に決め， $f^{'} (x) = 2 a x + 1 - 2 a$ の符号を調べる。 $S$ は $∣ f^{'} ∣$ の積分なので， $f^{'}$ が区間内で符号を変えないときは $f (2) - f (0)$ に等しい。符号が変わるときは， $f$ がいったん極小または極大をとるため，その値を使って全変動を計算する。(2)は(1)の結果からも出せるが，別解として $\int ∣ f^{'} ∣ ≧ ∣ \int f^{'} ∣$ を使えば最小値だけを直接押さえられる。

解答

(1)

$f (0) = 0$ より $c = 0$ である。また $f (2) = 2$ より $4 a + 2 b = 2$ となるので $b = 1 - 2 a$ である。したがって $f (x) = a x^{2} + (1 - 2 a) x, f^{'} (x) = 2 a x + 1 - 2 a$ である。

まず $- \frac{1}{2} ≦ a ≦ \frac{1}{2}$ のときを考える。このとき $f^{'} (0) = 1 - 2 a ≧ 0, f^{'} (2) = 1 + 2 a ≧ 0$ である。 $f^{'} (x)$ は1次式なので，区間 $0 ≦ x ≦ 2$ で常に $f^{'} (x) ≧ 0$ となる。よって $S = \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = f (2) - f (0) = 2$ である。

次に $a > \frac{1}{2}$ のときを考える。このとき $f^{'} (0) < 0$ ， $f^{'} (2) > 0$ であり， $f^{'} (x) = 0$ となる点は $x_{0} = 1 - \frac{1}{2 a}$ である。 $a > 1/2$ より $0 < x_{0} < 2$ である。この点で $f$ は極小となり，

f (x_{0}) = a (1 - \frac{1}{2 a})^{2} + (1 - 2 a) (1 - \frac{1}{2 a}) = - \frac{( 2 a - 1 ) ^{2}}{4 a}

である。したがって $S$ は， $f (0) = 0$ から極小値まで下がる長さと，そこから $f (2) = 2$ まで上がる長さの和で $S = {0 - f (x_{0})} + {2 - f (x_{0})} = 2 - 2 f (x_{0})$ である。よって $S = 2 + \frac{( 2 a - 1 ) ^{2}}{2 a} = 2 a + \frac{1}{2 a}$ となる。

最後に $a < - \frac{1}{2}$ のときを考える。このとき $f^{'} (0) > 0$ ， $f^{'} (2) < 0$ であり，同じ点 $x_{0} = 1 - \frac{1}{2 a}$ で $f$ は極大となる。 $a < - 1/2$ より $0 < x_{0} < 2$ であり，値は同じく $f (x_{0}) = - \frac{( 2 a - 1 ) ^{2}}{4 a}$ である。今度は $0$ から極大値まで上がり，そこから $2$ まで下がるので $S = {f (x_{0}) - 0} + {f (x_{0}) - 2} = 2 f (x_{0}) - 2$ である。したがって $S = - 2 a - \frac{1}{2 a}$ となる。

以上より

S = ⎩ ⎨ ⎧ - 2 a - \frac{1}{2 a} 2 2 a + \frac{1}{2 a} (a < - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2} ≦ a ≦ \frac{1}{2}), (a > \frac{1}{2})

である。

(2)

(1)の結果より， $- 1/2 ≦ a ≦ 1/2$ では $S = 2$ である。また $a > 1/2$ のときは $2 a + \frac{1}{2 a} ≧ 2$ であり， $a < - 1/2$ のときも $- 2 a - \frac{1}{2 a} ≧ 2$ である。したがって $S$ の最小値は $2$ である。

別解。最小値だけなら，絶対値積分の基本的な不等式から直接出せる。任意の $f$ について

S = \int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) ∣ d x ≧ \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = ∣ f (2) - f (0) ∣ = 2

である。一方，例えば $f (x) = x$ は条件 $f (0) = 0$ ， $f (2) = 2$ を満たし，このとき $f^{'} (x) = 1$ だから $S = \int_{0}^{2} 1 d x = 2$ である。よって最小値はやはり $2$ である。

東京大学 2009年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2009年度
文系数学第4問