問題
座標平面において原点を中心とする半径2の円をとし，点を中心とする半径1の円をとする。また，点を中心とする半径の円が，に内接し，かつに外接すると仮定する。ただし，は正の実数とする。
(1) ，をを用いて表せ。また，がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲を動くとき，の最大値を求めよ。
出典：東京大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接する条件をすべて中心間距離の等式に直す。がに内接するので中心間距離は，に外接するので中心間距離はである。2つの距離の2乗の式を作り，差をとってを先に決める。次にを求め，であることからの端点を除く。最大値はを直接扱うより，正の平方根であることを利用してを最大化する。
解答
(1)
の半径はであるから，である。がに内接することは，原点との距離がであることを意味する。したがって である。また，がに外接することは，との距離がであることを意味するので である。
この2式の差をとると であり，左辺と右辺を整理して を得る。よって である。
これをに代入すると
である。は正の実数なので，でなければならない。したがって より である。この範囲ではだから と決まる。以上より である。
(2)
(1)より である。なので，の最大化はの最大化と同じである。平方完成すると
である。においては許されるから，このときは最大値をとる。よっての最大値は である。