東京大学 2007年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) 実数を成分とする行列

A = (a b b c) (a^{2} + b^{2} \neq = 0)

に対し

B = (a - b b a) A (a - b b a)^{- 1}

とおく。 $B$ は $(r s s t)$ の形であることを示し、 $r + t, r t - s^{2}$ を $a, b, c$ で表せ。

(2) (1)において $r^{2} + s^{2} ≧ a^{2} + b^{2}$ を示せ。

(3) 実数 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ を

(a_{0} b_{0} b_{0} c_{0}) = (1112)

とし、 $n ≧ 1$ では(1)の変換を前の行列へ繰り返して定める。

(ア) $n \to \infty lim b_{n} = 0$ を示せ。

(イ) $n \to \infty lim a_{n}$ と $n \to \infty lim c_{n}$ を求めよ。

出典：東京大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は逆行列を求めて積を直接計算する。トレースと行列式に当たる2量が保たれる。(2)は $r - a$ を明示して差を平方の形にする。(3)では保存量 $a_{n} + c_{n} = 3, a_{n} c_{n} - b_{n}^{2} = 1$ と、(1)の成分表示から得る $b_{n} = b_{n - 1} / (a_{n - 1}^{2} + b_{n - 1}^{2})$ を使う。

解答

(1)

d = a^{2} + b^{2}, D = a c - b^{2}

とおく。 $d > 0$ であり、直接計算すると

B = \frac{1}{d} (a^{3} + 2 a b^{2} + b^{2} c b D b D a D) .

したがって $B$ は $(r s s t)$ の形である。また成分を整理すると

r + t = a + c, r t - s^{2} = a c - b^{2} .

(2)

(1)の成分表示から

r - a = \frac{b ^{2} ( a + c )}{a ^{2} + b ^{2}}

である。一方、 $r + t = a + c, r t - s^{2} = a c - b^{2}$ を用いると

r^{2} + s^{2} - (a^{2} + b^{2}) = (a + c) (r - a) = \frac{b ^{2} ( a + c ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} ≧ 0.

よって主張が成り立つ。

(3)

(ア)

(1)より全ての $n$ で

a_{n} + c_{n} = a_{0} + c_{0} = 3, a_{n} c_{n} - b_{n}^{2} = a_{0} c_{0} - b_{0}^{2} = 1

である。また(2)から

a_{n}^{2} + b_{n}^{2} ≧ a_{n - 1}^{2} + b_{n - 1}^{2} ≧ a_{0}^{2} + b_{0}^{2} = 2.

(1)の非対角成分の式と $a_{n - 1} c_{n - 1} - b_{n - 1}^{2} = 1$ から

b_{n} = \frac{b _{n - 1}}{a _{n - 1}^{2} + b _{n - 1}^{2}}

である。 $b_{0} = 1 > 0$ なので $b_{n} > 0$ であり、さらに

0 < b_{n} ≦ \frac{1}{2} b_{n - 1}

となる。よって $0 < b_{n} ≦ 2^{- n}$ だから

n \to \infty lim b_{n} = 0.

(イ)

(1)の対角成分から

a_{n} - a_{n - 1} = \frac{b _{n - 1}^{2} ( a _{n - 1} + c _{n - 1} )}{a _{n - 1}^{2} + b _{n - 1}^{2}} = \frac{3 b _{n - 1}^{2}}{a _{n - 1}^{2} + b _{n - 1}^{2}} ≧ 0.

したがって $a_{n}$ は増加する。また $a_{n} c_{n} = 1 + b_{n}^{2} > 0$ かつ $a_{n} + c_{n} = 3$ なので $0 < a_{n} < 3$ であり、 $a_{n}$ は収束する。その極限を $α$ とすると、 $c_{n} = 3 - a_{n}$ と(ア)を保存式へ代入して極限を取ることにより

α (3 - α) = 1

を得る。 $a_{n} ≧ a_{0} = 1$ だから

α = \frac{3 + 5}{2} .

したがって

n \to \infty lim a_{n} = \frac{3 + 5}{2}, n \to \infty lim c_{n} = \frac{3 - 5}{2} .

東京大学 2007年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(ア)

(イ)

東京大学 2007年度
後期・理系数学後期第2問