東京大学 2007年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面の曲線 $C : x y^{2} = 4$ 上に1点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ $(y_{0} > 0)$ をとる。 $P_{0}$ における $C$ の接線と $C$ との共有点のうち、 $P_{0}$ と異なるものを $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ とする。また $P_{1}$ における $C$ の接線と $C$ との共有点のうち、 $P_{1}$ と異なるものを $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ とする。

(1) $P_{1}, P_{2}$ の座標を $y_{0}$ を用いて表せ。

(2) 三角形 $P_{0} P_{1} P_{2}$ の面積を $T$ とし、線分 $P_{0} P_{1}, P_{1} P_{2}$ および曲線 $C$ で囲まれた領域の面積を $S$ とする。 $T / S$ を求めよ。

(3) $∠ P_{0} P_{1} P_{2}$ が直角となるような $y_{0}$ を求めよ。

(4) (3)で求めた $y_{0}$ に対し、三角形 $P_{0} P_{1} P_{2}$ の外接円の面積を求めよ。

出典：東京大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

曲線を $y$ で $x = 4/ y^{2}$ と媒介表示する。接点の $y$ 座標を $a$ として接線と曲線を連立すると、接点以外の交点の $y$ 座標は $- a /2$ になる。(2)は三角形を行列式で、曲線を含む領域を $y$ に関する通常の定積分で求める。(3)は2ベクトルの内積、(4)は直角三角形の斜辺を使う。

解答

(1)

$a = y_{0} > 0$ とおく。曲線上では $x = 4/ y^{2}$ だから

P_{0} = (\frac{4}{a ^{2}}, a) .

$d x / d y = - 8/ y^{3}$ より、 $P_{0}$ における接線の傾きは $d y / d x = - a^{3} /8$ である。この接線と曲線上の点 $(4/ y^{2}, y)$ を連立すると

2 y^{3} - 3 a y^{2} + a^{3} = 0

を得る。左辺は

(y - a)^{2} (2 y + a)

と因数分解できるので、接点以外の交点では $y = - a /2$ である。したがって

P_{1} = (\frac{16}{a ^{2}}, - \frac{a}{2}) .

同じ関係を $P_{1}$ に用いると、次の交点の $y$ 座標は $- (- a /2) /2 = a /4$ だから

P_{2} = (\frac{64}{a ^{2}}, \frac{a}{4}) .

(2)

P_{1} P_{0} = (- \frac{12}{a ^{2}}, \frac{3 a}{2}), P_{1} P_{2} = (\frac{48}{a ^{2}}, \frac{3 a}{4})

より

T = \frac{1}{2} - \frac{12}{a ^{2}} \cdot \frac{3 a}{4} - \frac{3 a}{2} \cdot \frac{48}{a ^{2}} = \frac{81}{2 a} .

直線 $P_{0} P_{1}$ と直線 $P_{1} P_{2}$ をそれぞれ $y$ で表すと

x = \frac{12}{a ^{2}} - \frac{8 y}{a ^{3}}, x = \frac{48}{a ^{2}} + \frac{64 y}{a ^{3}}

である。したがって領域を水平に切ると

S = \int_{- a /2}^{a /4} {\frac{48}{a ^{2}} + \frac{64 y}{a ^{3}} - (\frac{12}{a ^{2}} - \frac{8 y}{a ^{3}})} d y + \int_{a /4}^{a} {\frac{4}{y ^{2}} - (\frac{12}{a ^{2}} - \frac{8 y}{a ^{3}})} d y = \frac{81}{4 a} + \frac{27}{4 a} = \frac{27}{a} .

よって

\frac{T}{S} = \frac{3}{2} .

(3)

$∠ P_{0} P_{1} P_{2}$ が直角である条件は、(2)の2ベクトルの内積が0となることである。よって

- \frac{576}{a ^{4}} + \frac{9 a ^{2}}{8} = 0, a^{6} = 512.

$a > 0$ だから

y_{0} = a = 22 .

(4)

(3)では $P_{0} P_{2}$ が直角三角形の斜辺であり、外接円の直径になる。

P_{0} P_{2}^{2} = (\frac{60}{a ^{2}})^{2} + (\frac{3 a}{4})^{2} .

$a = 22$ を代入すると $P_{0} P_{2}^{2} = 243/4$ である。したがって外接円の半径の二乗は $243/16$ であり、その面積は

\frac{243 π}{16}

である。

東京大学 2007年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2007年度
後期・理系数学後期第1問