東京大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$- 1/2 ≦ a < 2$ とし、 $D : 1 ≦ x^{2} + y^{2} ≦ 4$ と $E : a ≦ x ≦ a + 1$ の共通部分の面積を $S (a)$ とする。

(1) $S (a)$ を定積分で表せ。

(2) $S^{'} (a)$ を求めよ。

(3) $S$ を最大にする $a$ を解にもつ整数係数4次方程式 $3 x^{4} + p x^{3} + q x^{2} + r x + s = 0$ を求めよ。

(4) $x = 2 t, z = t - 1/ t$ で $z$ の2次方程式へ直せ。

(5) 最大にする $a$ を求めよ。

出典：東京大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

円環の縦断面の高さを $g (x)$ とし、 $S (a) = \int_{a}^{a + 1} g (x) d x$ と考える。(1)(2)は端点が半径1・2の円をまたぐ位置で場合分けする。最大点は $S^{'} (a) = g (a + 1) - g (a) = 0$ から求め、平方根を2回整理して4次方程式を得る。指定の置換は相反形を2次式へ下げる。

解答

円環の $x$ における縦断面の高さを

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 {4 - x^{2} - 1 - x^{2}} 2 4 - x^{2} 0 (∣ x ∣ ≦ 1), (1 ≦ ∣ x ∣ ≦ 2), (∣ x ∣ ≧ 2)

とする。

(1)

ストリップの位置により

S (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 \int_{a}^{a + 1} {4 - x^{2} - 1 - x^{2}} d x 2 \int_{a}^{1} {4 - x^{2} - 1 - x^{2}} d x + 2 \int_{1}^{a + 1} 4 - x^{2} d x 2 \int_{a}^{2} 4 - x^{2} d x (- \frac{1}{2} ≦ a < 0), (0 ≦ a < 1), (1 ≦ a < 2)

である。

(2)

$S^{'} (a) = g (a + 1) - g (a)$ を用いると

S^{'} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 {4 - (a + 1)^{2} - 1 - (a + 1)^{2} - 4 - a^{2} + 1 - a^{2}} 2 {4 - (a + 1)^{2} - 4 - a^{2} + 1 - a^{2}} - 2 4 - a^{2} (- \frac{1}{2} < a < 0), (0 ≦ a < 1), (1 ≦ a < 2) .

なお $a = - 1/2$ での右微分は0である。

(3)

$0 ≦ x ≦ 1$ で $g (x)$ は増加し、 $1 ≦ x ≦ 2$ で減少する。したがって $0 < a < 1$ では $S^{'} (a) = g (a + 1) - g (a)$ は狭義に減少する。また

S^{'} (0) = 23 - 2 > 0, S^{'} (1) = - 23 < 0.

負の $a$ では $S^{'} (a) ≧ 0$ 、 $1 ≦ a < 2$ では $S^{'} (a) < 0$ なので、最大点は $0 < a < 1$ にただ1つあり、そこで

4 - (a + 1)^{2} + 1 - a^{2} = 4 - a^{2}

が成り立つ。1回平方して整理すると

2 {3 - 2 a - a^{2}} (1 - a^{2}) = a (a + 2) .

さらに平方して展開すると

3 a^{4} + 4 a^{3} - 20 a^{2} - 8 a + 12 = 0.

よって求める方程式は

3 x^{4} + 4 x^{3} - 20 x^{2} - 8 x + 12 = 0.

(4)

$x = 2 t$ を代入した式を4で割ると

3 t^{4} + 22 t^{3} - 10 t^{2} - 22 t + 3 = 0.

$t^{2}$ で割り、 $z = t - 1/ t$ 、 $t^{2} + t^{- 2} = z^{2} + 2$ を用いると

3 z^{2} + 22 z - 4 = 0.

(5)

(4)から

z = \frac{- 2 \pm 14}{3} .

最大点では $0 < a < 1$ だから $0 < t < 1/ 2$ であり、 $z = t - 1/ t < 0$ である。よって

z = - \frac{2 + 14}{3} .

$t^{2} - z t - 1 = 0$ の正の解を選び、 $a = 2 t$ へ戻すと

a = \frac{26 + 2 7 - 1 - 7}{3} .

この値は $0 < a < 1$ で、平方する前の $S^{'} (a) = 0$ の式も満たす。したがってこれが $S (a)$ を最大にする値である。

東京大学 2005年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

東京大学 2005年度
後期・理系数学後期第3問