東京大学 2005年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$O = (0, 0), P = (cos θ, sin θ), Q = (1, 0)$ $(0 < θ < π)$ とする。 $A$ は $P Q$ 上、 $B$ は $O Q$ 上を動き、 $A B$ は $△ O P Q$ の面積を二等分する。最短の $A B$ を $l$ とし $l^{2} = f (θ)$ とする。

(1) $A Q = a, B Q = b$ のとき $ab = sin (θ /2)$ を示せ。

(2) $P Q ≧ 1/2$ と $P Q < 1/2$ の各場合に $f (θ)$ を求めよ。

(3) $f$ の微分可能性、概形、最大値を求めよ。

出典：東京大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は頂点 $Q$ を共有する2三角形の面積比を使う。(2)は $s = sin (θ /2)$ と置き、 $ab = s$ のもとで余弦定理による $A B^{2}$ を最小化する。ただし $A, B$ が線分上にある制約から $s ≦ a ≦ 2 s$ が生じる。(3)は境界 $s = 1/4$ で左右の値と導関数を照合する。

解答

(1)

$P Q = 2 sin (θ /2)$ である。 $△ A B Q$ と $△ O P Q$ は頂点 $Q$ の角を共有するから、面積比は

\frac{[ A B Q ]}{[ O P Q ]} = \frac{A Q}{P Q} \cdot \frac{B Q}{O Q} = \frac{ab}{2 sin ( θ /2 )} .

$A B$ が面積を二等分するので左辺は $1/2$ であり

ab = sin \frac{θ}{2}

を得る。

(2)

$s = sin (θ /2)$ とおく。 $∠ A QB = (π - θ) /2$ なので、その余弦は $s$ である。余弦定理と $ab = s$ から

A B^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab s = a^{2} + \frac{s ^{2}}{a ^{2}} - 2 s^{2} .

また $A \in P Q, B \in O Q$ より

0 < a ≦ 2 s, 0 < b = \frac{s}{a} ≦ 1,

すなわち $s ≦ a ≦ 2 s$ である。

制約がなければ $a^{2} + s^{2} / a^{2}$ は $a = s$ で最小となる。これが $a ≦ 2 s$ を満たす条件は $s ≧ 1/4$ 、すなわち $P Q ≧ 1/2$ である。このとき

f (θ) = 2 s - 2 s^{2} = 2 sin \frac{θ}{2} (1 - sin \frac{θ}{2}) .

一方 $s < 1/4$ では区間の右端 $a = 2 s$ で最小となり、 $b = 1/2$ だから

f (θ) = 4 s^{2} + \frac{1}{4} - 2 s^{2} = \frac{1}{4} + 2 sin^{2} \frac{θ}{2} .

(3)

$θ_{0} = 2 arcsin (1/4)$ とする。 $θ = θ_{0}$ で両式の値はともに $3/8$ である。左側の導関数は

\frac{d}{d θ} (\frac{1}{4} + 2 sin^{2} \frac{θ}{2}) = sin θ,

右側の導関数は

\frac{d}{d θ} {2 s (1 - s)} = (1 - 2 s) cos \frac{θ}{2} .

$s = 1/4$ ではどちらも $\frac{1}{2} cos (θ_{0} /2)$ となるので、 $f$ は境界でも微分可能である。

$s$ は $θ$ とともに0から1へ増加する。 $f$ は $s = 1/2$ 、すなわち $θ = π /3$ まで増加し、その後減少する。最大値は

2 \cdot \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} .

概形は次の通りである。

東京大学 2005年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2005年度
後期・理系数学後期第1問