東京大学 2005年度文系数学第3問解答・解説

問題

0以上の実数 $s$ ， $t$ が $s^{2} + t^{2} = 1$ を満たしながら動くとき，方程式

x^{4} - 2 (s + t) x^{2} + (s - t)^{2} = 0

の解のとる値の範囲を求めよ。

出典：東京大学 2005年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$u = x^{2}$ とおくと2次方程式になり，判別式を直接計算するより $(s \pm t)^{2}$ と因数分解的に見るのが早い。したがって解は $\pm (s + t)$ と $\pm ∣ s - t ∣$ である。あとは $s, t ≧ 0$ ， $s^{2} + t^{2} = 1$ のもとで $S = s + t$ が $1 ≦ S ≦ 2$ をちょうど動くことを確認し，2種類の正の解の範囲を単調性と端点で決める。最後に2つの範囲がつながるため，正負対称性から全体の範囲を出す。

解答

$u = x^{2}$ とおくと，方程式は $u^{2} - 2 (s + t) u + (s - t)^{2} = 0$ となる。この2次方程式の解は

u = s + t \pm (s + t)^{2} - (s - t)^{2} = s + t \pm 2 s t

である。したがって $u = (s + t)^{2}, u = (s - t)^{2}$ であり， $x$ の値は $\pm (s + t), \pm ∣ s - t ∣$ である。

ここで $S = s + t$ とおく。 $s, t ≧ 0$ ， $s^{2} + t^{2} = 1$ より $1 = s^{2} + t^{2} ≦ (s + t)^{2} ≦ 2 (s^{2} + t^{2}) = 2$ であるから $1 ≦ S ≦ 2$ である。

逆に， $1 ≦ S ≦ 2$ を任意に取る。このとき $s t = \frac{( s + t ) ^{2} - ( s ^{2} + t ^{2} )}{2} = \frac{S ^{2} - 1}{2}$ となればよい。 $s, t$ を2次方程式 $X^{2} - S X + \frac{S ^{2} - 1}{2} = 0$ の2解として定めると，判別式は $S^{2} - 2 (S^{2} - 1) = 2 - S^{2} ≧ 0$ であり，2解は実数である。また積 $(S^{2} - 1) /2 ≧ 0$ ，和 $S ≧ 0$ だから，2解はともに0以上である。さらに $s^{2} + t^{2} = (s + t)^{2} - 2 s t = S^{2} - (S^{2} - 1) = 1$ である。よって $S$ は $1 ≦ S ≦ 2$ の範囲をちょうど動く。

まず大きい方の正の値を調べる。 $(s + t)^{2} = s + t + 2 s t = S + 2 S^{2} - 2$ である。右辺は $1 ≦ S ≦ 2$ で増加するので， $1 ≦ (s + t)^{2} ≦ 22$ である。したがって $1 ≦ s + t ≦ 2^{3/4}$ である。

次に小さい方の正の値を調べる。 $(s - t)^{2} = s + t - 2 s t = S - 2 S^{2} - 2$ である。関数 $F (S) = S - 2 S^{2} - 2$ は， $1 < S ≦ 2$ で $F^{'} (S) = 1 - \frac{2 S}{2 S ^{2} - 2} < 0$ となるので減少する。端点では $F (1) = 1, F (2) = 0$ であるから $0 ≦ ∣ s - t ∣ ≦ 1$ である。

以上より，正の値として現れる範囲は $0 ≦ x ≦ 1$ と $1 ≦ x ≦ 2^{3/4}$ の和集合，すなわち $0 ≦ x ≦ 2^{3/4}$ である。方程式は $x^{2}$ だけを含むので，負の解についても対称に同じ範囲が現れる。したがって求める範囲は $- 2^{3/4} ≦ x ≦ 2^{3/4}$ である。

東京大学 2005年度文系数学 第3問

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文系数学第3問