問題
をを満たす2次関数とする。，を実数として，関数を次で与える。
，をいろいろ変化させ
が最小になるようにする。このとき，，であることを示せ。
出典：東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
区間 と で はそれぞれ定数 ， であるため，最小化は左右の区間で独立に行える。各区間では， を定数で近似するときの二乗誤差を平方完成し，最良の定数がその区間での平均値になることを示す。区間の長さがどちらも なので，平均値は そのものであり，微積分の基本関係から ， に直せる。別解として， と置いて係数で直接最小化してもよい。
解答
区間 では ，区間 では である。したがって与えられた量は であり， と は別々に最小化できる。
まず における の平均値を とおく。この区間の長さは なので，平均値はこの積分そのものである。すると であるから，
となる。よってこの部分は のとき，かつそのときに限って最小である。
ここで である。したがって最小のとき が成り立つ。
同様に， における平均値を とおくと， である。よってこの部分は のとき最小である。また なので，最小のとき である。
以上より，与えられた量が最小となるとき が成り立つ。
別解。 を満たす2次関数だから とおける。このとき である。左側の区間では と書け， である。したがって となり，これは のとき最小である。このとき である。
右側の区間でも かつ なので，最小となるのは のときである。このとき である。