問題
を1以上の整数とする。数字が書かれたカードを1枚ずつ，計枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
(i) 甲が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をとする。ひいたカードはもとに戻す。
(ii) 甲はもう1回カードをひくかどうかを選択する。ひいた場合は，そのカードに書かれた数をとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は，とする。の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する。
(iii) の場合は，乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をとする。ひいたカードはもとに戻す。の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する。
(iv) の場合は，乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をとする。の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする。
(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを，の値に応じて考える。以下の問いに答えよ。
(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率をを用いて表せ。
(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率をを用いて表せ。
ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする。
方針
甲の合計点を と固定して、乙に手番が渡った後だけを先に数える。 なら、乙の1枚目 が のときは即座に乙の勝ちで、 のときだけ2枚目 を考える。このとき甲が勝つのは または であり、各 について有利な が 通りになる。したがって固定合計 での甲の勝率は である。(1)は 、(2)は ごとに として平均する。最後に有利不利を判定するなら、2つの確率の差の符号を比較する。
解答
(1)
甲が2回目にカードをひかないとき，甲の合計は である。
乙の1枚目を とする。 なら，手順(iii)によりその時点で乙の勝ちである。したがって甲が勝つ可能性があるのは のときだけである。
この を固定する。乙の2枚目を とすると，乙が勝つのは のときである。したがって甲が勝つのは，その反対で または のときである。 のうち， を満たすものは であり， 通りである。また を満たすものは であり， 通りである。両者は重ならないから，この に対して甲が勝つ は 通りである。 は から までの 通りあるので，有利な は 通りである。全体の は 通りだから，甲の勝つ確率は である。
(2)
甲が2回目にカードをひき，その数を とする。 なら手順(ii)により乙の勝ちであり，甲の勝つ確率は である。 のとき，甲の合計を とおくと， である。(1)の数え上げは の特別な性質を使っておらず，甲の合計が であることだけを使っている。したがって，この が出た後に甲が勝つ条件付き確率は である。 は のいずれも等確率で出るので，求める確率は
である。和の公式を用いると だから，確率は である。
なお，2回目をひく方が有利かどうかは の符号で決まる。すなわち ならひく方が有利， ならひかない方が有利， なら同じである。さらに なので， が大きくなるほど2回目をひく利点は一方的に小さくなる。