問題
3以上9999以下の奇数で，が10000で割り切れるものをすべて求めよ。
出典：東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文科第2問・理科第4問
方針
整数条件は が で割り切れることに尽きる。連続する2整数 と は互いに素で，さらに は奇数なので， は必ず 側に入る。残る は互いに素な2因子のどちらか一方に丸ごと入るため， と の2場合を調べればよい。最後に の範囲と奇数条件を確認する。
解答
まず である。また，連続する2整数 と は互いに素であるから， が で割り切れるかどうかは，各素因数のまとまりが と のどちらに入るかで決まる。 は奇数なので， は で割り切れない。したがって が で割り切れるためには でなければならない。すなわち である。
次に について考える。 と は互いに素であるから， は または のどちらか一方を割り切る。 のとき，すでに であり， と は互いに素なので となる。よって である。しかし にこの合同式を満たす整数は存在しない。 のとき， とおく。範囲 より である。また だから， は と同値である。 の中でこれを満たすのは だけである。したがって を得る。
実際， は奇数であり， は と の両方で割り切れる。 と は互いに素なので，これは で割り切れる。よって求める値は である。