東京大学 2001年度
文系数学 第4問

解答

左から $j$ 個の碁石を見たとき、黒石の個数から白石の個数を引いた値を $d_j$ とおく。ただし、まだ何も見ていない状態を $d_0=0$ とする。碁石を1個右へ進むたびに、黒石なら値は1増え、白石なら値は1減る。

全体では黒石が181個、白石が180個であるから $d_{361}=181-180=1$ である。

ここで、$d_j=0$ となる $j$ のうち最大のものを $l$ とする。少なくとも $d_0=0$ なので、このような $l$ は存在する。また $d_{361}=1$ だから $l\ne 361$ であり、$l+1$ 番目の碁石が存在する。

もし $l+1$ 番目の碁石が白石であれば、$d_{l+1}=d_l-1=-1$ となる。しかし最後には $d_{361}=1$ であり、値は1個の碁石ごとに1ずつしか変わらない。したがって $-1$ から $1$ へ移る途中で必ず0を通る。これは $l$ が $d_j=0$ となる最後の位置であることに反する。

よって $l+1$ 番目の碁石は黒石である。この黒石とそれより右にある碁石をすべて除くと、左に残るのは最初の $l$ 個の碁石である。ところが $d_l=0$ なので、そこには黒石と白石が同数ある。したがって条件を満たす黒石が少なくとも一つ存在する。

別解。$d_0=0$ から始めて $d_{361}=1$ で終わるので、左から見て初めて $d_j=1$ となる位置を $j$ とすることもできる。このとき $d_{j-1}=0$ であり、$d_j=d_{j-1}+1$ だから $j$ 番目の碁石は黒石である。その黒石と右側をすべて除けば、左に残る $j-1$ 個では $d_{j-1}=0$ なので白黒同数である。