問題
時刻0に原点を出発した2点，が平面上を動く。点の時刻での座標はで与えられる。点は，最初は軸上を座標が増加する方向に一定の速さ1で動くが，点に到達した後は，その点から軸に平行な直線上を座標が増加する方向に同じ速さ1で動く。
のとき，三角形の面積をとおく。
(1) 関数 のグラフの概形を描け。
(2) を正の実数とするとき，におけるの最大値をとおく。関数 のグラフの概形を描け。
方針
点 の動きが時刻3で折れるため、 と に分けて三角形 の面積を求める。前半は底辺を 、高さを点 から 軸までの距離として取り、後半は底辺を水平な 、高さを3として取る。 の増減を調べ、 は「時刻 までに達した最大値」なので、 と を境に場合分けする。
解答
(1)
点 は常に である。
まず のとき、点 は 軸上を動くので である。このとき は 軸上の線分で、その長さは である。また から 軸までの距離は である。したがって である。
次に のとき、点 は から右向きに速さ1で動くので である。このとき は水平な線分で、長さは である。また から直線 までの距離は3である。よって である。
以上より
である。
前半について微分すると である。したがって で増加、 で減少し、 である。後半は から始まる傾き の直線である。
したがって のグラフは、 で0に近づき、 で極大となり、 に下がった後、傾き の直線として増加する。
(2)
は における の最大値である。(1)より、 での最大値は における である。 では、 は で増加しているので である。 では、すでに で最大値2に達しているので である。 では、後半の値 が2を超えるかどうかを見ればよい。方程式 を解くと である。よって では最大値はまだ2であり、 では時刻 の値が過去最大になる。
したがって
である。グラフは、 で まで増加し、 で高さ2の水平線となり、その後は傾き の直線となる。