東京大学 1996年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

満杯の直円柱タンクが横倒しで、円形断面の最下点の穴から流出する。単位時間の流出量は油面の穴からの高さの平方根に比例し、1時間で半分が流出した。このあと全部流出するまでの時間を、分未満切捨てで予測せよ。

出典：東京大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

円断面の半径を $R$ 、油面高を $h$ とし、体積の高さ微分を水平弦長で表す。流出則と組み合わせて変数分離し、最初の1時間から比例定数を消去する。

円柱の長さを $L$ 、断面半径を $R$ 、最下点からの油面高を $h (t)$ とする。高さ $h$ での水平弦長は

2 2 R h - h^{2} .

従って油量 $W$ について

\frac{d W}{d h} = 2 L 2 R h - h^{2} .

流出量が $h$ に比例するので、正定数 $c$ を用いて

2 L 2 R h - h^{2} \frac{d h}{d t} = - c h .

$0 < h < 2 R$ で約して

\frac{d h}{d t} = - \frac{K}{2 R - h} (K = c / (2 L) > 0) .

よって高さ $h_{1}$ から $h_{2}$ まで下がる時間は

\frac{1}{K} \int_{h_{2}}^{h_{1}} 2 R - h d h .

円の対称性により油量が半分のとき $h = R$ である。満杯 $h = 2 R$ から $R$ までが1時間だから

1 = \frac{1}{K} \int_{R}^{2 R} 2 R - h d h = \frac{2 R ^{3/2}}{3 K} .

現在の $h = R$ から空の $h = 0$ までの残り時間 $T$ は

T = \frac{1}{K} \int_{0}^{R} 2 R - h d h = \frac{2}{3 K} {(2 R)^{3/2} - R^{3/2}} = 22 - 1

時間である。これは約 $1.8284$ 時間、すなわち1時間49.7分なので、分未満を切り捨てて

このあと 1 時間 49 分 .