東京大学 1996年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

辺長 $B C = 2 a, C A = 2 b, A B = 2 c$ の鋭角三角形の各辺の中点を $L, M, N$ とし、 $L M, M N, N L$ で折って四面体を作る。

(1) $M N$ の中点 $P$ と $B L$ の中点 $Q$ の組立後の距離を求めよ。

(2) 四面体の体積を求めよ。

出典：東京大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

組立後の四面体は向かい合う辺がそれぞれ $a, b, c$ で等しい四面体である。符号を変えた4点の座標模型を置き、辺長から3座標を決める。

組立後、 $M N$ と $B L$ は向かい合う長さ $a$ の辺である。同様に他の向かい合う辺の組の長さは $b, c$ である。4頂点を

V_{1} = (x, y, z), V_{2} = (x, - y, - z), V_{3} = (- x, y, - z), V_{4} = (- x, - y, z)

と置き、 $V_{1} V_{2}, V_{3} V_{4}$ を長さ $a$ の辺とする。このとき

a^{2} = 4 (y^{2} + z^{2}), b^{2} = 4 (x^{2} + z^{2}), c^{2} = 4 (x^{2} + y^{2}) .

従って

x^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{8}, y^{2} = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{8}, z^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{8} .

元の三角形が鋭角なので3右辺は正である。(1)向かい合う2本の $a$ 辺の中点は $(x, 0, 0), (- x, 0, 0)$ だから

P Q = 2 x = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2} .

$V_{1}$ から他の3頂点へ向かう3ベクトルの行列式の絶対値は $16 x y z$ である。従って体積は

V = \frac{16 x y z}{6} = \frac{1}{6 2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) .