問題
甲，乙二人が出資して共同事業を行う。二人の出資合計をとするとき，この事業による利潤は
で与えられ，利潤は出資額に応じて甲，乙に比例配分されるものとする。
甲の出資額が一定であるとして，乙の利潤配分額を最大にするの値を求めよ。ただしとする。
出典：東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
乙の出資額は なので，乙の利潤配分額は である。定義域は で，利潤関数の折れ目 に合わせて と に分ける。前半では の増減を調べ，後半では を微分する。最後に を境に，前半の内点最大と後半の内点最大のどちらが有効になるかを整理する。
解答
乙の出資額は であるから，乙の利潤配分額を とすると である。ここで であり， である。
まず の範囲を考える。このとき である。微分すると である。この範囲では なので， の符号は と逆になる。
臨界点は である。これが に入る条件は であり，これは と同値である。このとき前半の最大は で生じ，値は である。 のときはこの臨界点が を超えるため， では右端 で最大となる。
次に の範囲を考える。このとき
である。微分すると である。後半の臨界点は である。 のときは なので， では となり，最大は に近づくときの値である。その値は である。一方，前半の最大値との差は であるから，全体の最大は前半の臨界点で得られる。 のときは であり，後半ではこの点で最大となる。またこの場合，前半の最大は であり，後半の臨界点ではそこから増加してから減少するので，全体の最大は で得られる。
したがって，乙の利潤配分額を最大にする は
である。