東京大学 1990年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

長さ1の線分をつなげてできる右のような平面上の図形 $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, \dots$ を考える． $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し，図形 $Q_{n}$ の左端の点を $A_{n}$ ，右端の点を $B_{n}$ ，上端の点を $C_{n}$ とする．
$Q_{1}$ は一辺の長さが1の正三角形の周である． $Q_{2}$ は図のように， $Q_{1}$ を3つつなげてできる図形である．
$Q_{n}$ と同じ図形を3つ用意し，それらを $Q_{n} (1)$ ， $Q_{n} (2)$ ， $Q_{n} (3)$ とする． $i = 1, 2, 3$ に対し， $Q_{n} (i)$ の左端の点を $A_{n} (i)$ ，右端の点を $B_{n} (i)$ ，上端の点を $C_{n} (i)$ としたとき， $Q_{n + 1}$ は， $B_{n} (1)$ と $A_{n} (2)$ ， $C_{n} (2)$ と $B_{n} (3)$ ， $A_{n} (3)$ と $C_{n} (1)$ がそれぞれ同一の点になるようにおいてできる図形である．
$Q_{n}$ において， $A_{n}$ から線分の上を通り，一度通った点は二度通らずに $B_{n}$ まで行く行き方を考える．この行き方のうち，途中 $C_{n}$ を通らない場合の個数を $x_{n}$ とし，途中 $C_{n}$ を通る場合の個数を $y_{n}$ とする．容易にわかるように， $x_{n} = y_{n} = 1$ である．

(1) $x_{2}$ ， $y_{2}$ を求めよ．

(2) $x_{n + 1}$ を $x_{n}$ ， $y_{n}$ を用いて表せ．また， $y_{n + 1}$ を $x_{n}$ ， $y_{n}$ を用いて表わせ．

(3) $x_{3}$ ， $y_{3}$ を求めよ．

出典：東京大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

三つの $Q_{n}$ を大きな三角形の左下・右下・上に配置して考える。二頂点間の道を「残る頂点を通らない $x_{n}$ 型」と「通る $y_{n}$ 型」に分けたまま連結する。大きな図形で $C_{n + 1}$ を通るか否かごとに、三つの小図形で選ぶ型を列挙して漸化式を作る。

解答

(1)

$Q_{2}$ の六頂点からなる図で、同じ点を二度通らない道を列挙する。 $A_{2}$ から $B_{2}$ へ行く道は、 $C_{2}$ を通らないものが7通り、通るものが3通りである。したがって

x_{2} = 7, y_{2} = 3.

(2)

三つの小図形 $Q_{n} (1), Q_{n} (2), Q_{n} (3)$ のそれぞれで、二つの端点を結ぶ道は、第三の端点を通らない $x_{n}$ 型と、第三の端点を通る $y_{n}$ 型に分かれる。

$C_{n + 1}$ を通らない道を、小図形ごとの型で分類すると、

x_{n}^{3}, 2 x_{n}^{2} y_{n}, x_{n}^{2}, 2 x_{n} y_{n}, y_{n}^{2}

に対応する場合が得られる。これらは連結点を通る順序が異なり、互いに重ならない。よって

x_{n + 1} = x_{n}^{3} + 2 x_{n}^{2} y_{n} + x_{n}^{2} + 2 x_{n} y_{n} + y_{n}^{2} .

一方、 $C_{n + 1}$ を通る道は、上側の小図形で第三頂点を通る場合を同様に分けると

y_{n + 1} = x_{n}^{2} y_{n} + 2 x_{n} y_{n}^{2} = x_{n} y_{n} (x_{n} + 2 y_{n}) .

(3)

$x_{2} = 7, y_{2} = 3$ を代入して

x_{3} = 7^{3} + 2 \cdot 7^{2} \cdot 3 + 7^{2} + 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3^{2} = 343 + 294 + 49 + 42 + 9 = 737,

y_{3} = 7^{2} \cdot 3 + 2 \cdot 7 \cdot 3^{2} = 147 + 126 = 273.

したがって

x_{3} = 737, y_{3} = 273.

東京大学 1990年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1990年度
後期・理系数学後期第3問