東京大学 1990年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$A = \frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2}$ とし， $P_{0}$ を $x y$ 平面上の原点とする． $i = 1, \dots, 6$ に対して， $a_{i}$ を正の実数とし， $(x_{i} y_{i}) = A^{i} (a_{i} 0)$ とおいたとき，点 $P_{i}$ を $P_{i - 1} P_{i} = (x_{i}, y_{i})$ となるように定める．ただし，このとき $P_{6} = P_{0}$ となっているものとする． $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{6}$ を順に結んで得られる六角形を $H$ とおく．

(1) $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$ であることを示せ．

(2) $i = 1 \sum 6 a_{i} = 6$ ， $a_{1} - a_{4} = 1$ とするとき， $H$ の面積の最大値を求めよ．

(3) $i = 1 \sum 6 a_{i} = 6$ とするとき， $H$ の面積の最大値を求めよ．

出典：東京大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

行列 $A$ は $6 0^{\circ}$ 回転を表すので、六辺の方向は順に $6 0^{\circ}$ ずつ変わる。閉じる条件を $x, y$ 成分に分けて(1)を得る。(2)(3)では共通差 $d$ と三つの基準長 $x, y, z$ を導入し、六角形の面積を二次式にして $x y + y z + z x ≦ (x + y + z)^{2} /3$ を使う。

解答

(1)

第 $i$ 辺の方向は正の $x$ 軸を $iπ /3$ だけ回転した方向である。 $P_{6} = P_{0}$ の $y$ 成分から

a_{1} + a_{2} - a_{4} - a_{5} = 0,

したがって

a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} .

また $x$ 成分を2倍して

a_{1} - a_{2} - 2 a_{3} - a_{4} + a_{5} + 2 a_{6} = 0.

前式を代入すると

a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6} .

よって

a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6} .

(2)

共通の差を $d$ とし

x = a_{4}, y = a_{2}, z = a_{6}

とおくと

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}) = (x + d, y, z + d, x, y + d, z) .

六角形の面積を $K$ とする。各頂点を辺ベクトルの累積和で表し、座標の面積公式で整理すると

\frac{K}{3} = \frac{1}{2} (x y + y z + z x) + \frac{d}{2} (x + y + z) + \frac{d ^{2}}{4} .

$\sum a_{i} = 6$ より

x + y + z = 3 - \frac{3 d}{2} .

固定した和に対し

x y + y z + z x ≦ \frac{( x + y + z ) ^{2}}{3}

で、等号は $x = y = z$ のときである。したがって

K ≦ 3 (\frac{3}{2} - \frac{d ^{2}}{8}) .

ここでは $d = 1$ なので

K_{m a x} = \frac{11 3}{8} .

等号は $x = y = z = 1/2$ のときに実現する。

(3)

上の評価で $d$ も動かすと

K ≦ 3 (\frac{3}{2} - \frac{d ^{2}}{8}) ≦ \frac{3 3}{2} .

$d = 0, x = y = z = 1$ 、すなわち $a_{1} = \dots = a_{6} = 1$ の正六角形で等号が実現する。よって

K_{m a x} = \frac{3 3}{2} .

東京大学 1990年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1990年度
後期・理系数学後期第2問