東京大学 1990年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を整数， $p$ ， $q$ ， $r$ を $p < 0 < q < 1 < r < 2$ をみたす実数とする。関数

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x + c

が次の条件(i)，(ii)をみたすように $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ を定めよ。

(i) $f (x) = 0$ は4個の相異なる実数解をもつ。

(ii) 関数 $f (x)$ は $x = p, q, r$ において極値をとる。

出典：東京大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

導関数は $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + b$ で、 $x$ の1次項がない。そこで条件を満たす3つの極値点を作るため、因数分解しやすい $4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ を導関数に選ぶ。これにより $a, b$ と $p, q, r$ を決め、最後に整数 $c$ を選んで4次式が4個の相異なる実数解をもつことを因数分解で確認する。

解答

条件を満たす一組を構成する。導関数は $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + b$ である。ここで $a = - 2, b = 1$ とおくと $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ であり、これは $f^{'} (x) = (2 x - 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)$ と因数分解できる。したがって極値をとる点は $x = \frac{1 - 3}{2}, x = \frac{1}{2}, x = \frac{1 + 3}{2}$ である。

これらを $p = \frac{1 - 3}{2}, q = \frac{1}{2}, r = \frac{1 + 3}{2}$ とおくと、確かに $p < 0 < q < 1 < r < 2$ を満たす。

次に $c = 0$ とおく。このとき $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x$ であり、因数分解すると $f (x) = x (x^{3} - 2 x^{2} + 1) = x (x - 1) (x^{2} - x - 1)$ である。したがって $f (x) = 0$ の解は $x = 0, x = 1, x = \frac{1 - 5}{2}, x = \frac{1 + 5}{2}$ であり、4個とも相異なる実数である。

以上より、例えば $a = - 2, b = 1, c = 0,$ $p = \frac{1 - 3}{2}, q = \frac{1}{2}, r = \frac{1 + 3}{2}$ と定めれば、条件(i)、(ii)をともに満たす。

東京大学 1990年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 1990年度
文系数学第3問