東京大学 1990年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 方程式・不等式、数と式
- 解法
- 式変形、解と係数の関係、計算整理
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
3次方程式
x3+3x2−1=0
の一つの解を α とする。
(1) (2α2+5α−1)2 を α の2次以下の式で表せ。
(2) 他の2つの解を aα2+bα+c の形で表せ。
出典：東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
与えられた3次方程式から α3=−3α2+1 を使い、高い次数を2次以下へ下げる。(2)では x+1=t と置いて3次方程式を t3−3t+1=0 に直し、1つの解 u=α+1 を除いた2解が満たす2次方程式を作る。最後に u を α へ戻して、他の2解を α の2次以下の式で表す。
解答
(1)
α は α3+3α2−1=0 を満たすので α3=−3α2+1 である。また α4=αα3=α(−3α2+1)=−3α3+α であり、再び α3=−3α2+1 を用いて α4=9α2+α−3 となる。
求める式を展開すると (2α2+5α−1)2=4α4+20α3+21α2−10α+1 である。ここへ上の関係を代入して 4(9α2+α−3)+20(−3α2+1)+21α2−10α+1 を整理すると −3α2−6α+9 である。したがって (2α2+5α−1)2=−3α2−6α+9 である。
(2)
t=x+1 とおくと、もとの方程式は (t−1)3+3(t−1)2−1=0 であり、整理して t3−3t+1=0 となる。α に対応する解を u=α+1 とする。この3次方程式の他の2つの解を v,w とすると、解と係数の関係より u+v+w=0,uv+uw+vw=−3,uvw=−1 である。
ここで v=u2−2,w=−u2−u+2 とおく。和は v+w=−u である。また u3−3u+1=0、すなわち u3=3u−1 を用いると uv+uw+vw=−3,uvw=−1 も成り立つ。したがって v,w は u 以外の2解である。
もとの方程式の解は x=t−1 だから、他の2つの解は v−1=u2−3 および w−1=−u2−u+1 である。u=α+1 を代入すると u2−3=(α+1)2−3=α2+2α−2 であり、−u2−u+1=−(α+1)2−(α+1)+1=−α2−3α−1 である。よって他の2つの解は α2+2α−2,−α2−3α−1 である。
