東京大学 1989年度文系数学第3問解答・解説

問題

$q$ を正の実数とし，上半平面 $H$ を，虚部が正である複素数全体として定める。写像

f (z) = \frac{z + 1 - q}{z + 1}

について， $z \in H$ ならば $f (z) \in H$ であることを示せ。また， $f$ の $n$ 回合成を

f_{n} (z) = \frac{r _{n} z + ( 1 - q ) s _{n}}{s _{n} z + r _{n}}

の形に表し，成り立つ関係式を求めよ。

出典：東京大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

上半平面が保たれることは、 $z = x + y i$ とおいて虚部を直接計算すればよい。反復については $f_{n} (z)$ が与えられた形で表されると仮定し、 $f$ をさらに1回合成して分子・分母の係数を比較する。そこで得た $r_{n}, s_{n}$ の漸化式から、同時に保たれる関係式を帰納法で示す。

解答

$z = x + y i$ , $y > 0$ とする。このとき $f (z) = \frac{z + 1 - q}{z + 1} = 1 - \frac{q}{z + 1}$ である。また $\frac{1}{z + 1} = \frac{x + 1 - y i}{( x + 1 ) ^{2} + y ^{2}}$ だから $Im (- \frac{q}{z + 1}) = \frac{q y}{( x + 1 ) ^{2} + y ^{2}} > 0$ である。したがって $z$ が上半平面にあるなら、 $f (z)$ も上半平面にある。

次に、 $n$ 回合成した式を $f_{n} (z) = \frac{r _{n} z + ( 1 - q ) s _{n}}{s _{n} z + r _{n}}$ と表す。 $n = 1$ では $f_{1} (z) = \frac{z + 1 - q}{z + 1}$ だから $r_{1} = 1, s_{1} = 1$ でよい。

いま $f_{n} (z)$ が上の形で表されているとする。さらに1回 $f$ を施すと $f_{n + 1} (z) = \frac{f _{n} ( z ) + 1 - q}{f _{n} ( z ) + 1}$ である。分子を通分すると $r_{n} z + (1 - q) s_{n} + (1 - q) (s_{n} z + r_{n}) = {r_{n} + (1 - q) s_{n}} z + (1 - q) (r_{n} + s_{n})$ であり、分母は $r_{n} z + (1 - q) s_{n} + s_{n} z + r_{n} = (r_{n} + s_{n}) z + {r_{n} + (1 - q) s_{n}}$ である。したがって $r_{n + 1} = r_{n} + (1 - q) s_{n}, s_{n + 1} = r_{n} + s_{n}$ とおけば、同じ形が保たれる。

さらに

r_{n + 1}^{2} - (1 - q) s_{n + 1}^{2} = {r_{n} + (1 - q) s_{n}}^{2} - (1 - q) (r_{n} + s_{n})^{2} = q {r_{n}^{2} - (1 - q) s_{n}^{2}}

である。 $r_{1}^{2} - (1 - q) s_{1}^{2} = q$ なので、帰納的に $r_{n}^{2} - (1 - q) s_{n}^{2} = q^{n}$ が成り立つ。

よって、 $f_{n}$ は $f_{n} (z) = \frac{r _{n} z + ( 1 - q ) s _{n}}{s _{n} z + r _{n}}$ の形で表され、 $r_{n}, s_{n}$ は $r_{1} = s_{1} = 1, r_{n + 1} = r_{n} + (1 - q) s_{n}, s_{n + 1} = r_{n} + s_{n}$ を満たし、さらに $r_{n}^{2} - (1 - q) s_{n}^{2} = q^{n}$ が成り立つ。

東京大学 1989年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 1989年度
文系数学第3問