東京大学 1989年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a > 0$ とし，2つの放物線

C_{1} : y = x^{2} + \frac{1}{a ^{2}}, C_{2} : y = - (x - a)^{2}

を考える。これら2つの放物線の共通接線2本と，それぞれの接点を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ。

出典：東京大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

共通接線を $y = m x + n$ とおき、それぞれの放物線に接する条件から $m$ の2次方程式を作る。2本の接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とし、4つの接点の座標を $m_{i}$ で表すと、四角形の面積は $m_{2} - m_{1}$ と $m_{1} + m_{2}$ , $m_{1} m_{2}$ だけで整理できる。最後は $a > 0$ の1変数関数として最小値を調べる。

解答

共通接線を $y = m x + n$ とおく。

まず $C_{1} : y = x^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ との接点の $x$ 座標を $p$ とすると、接線の傾きは $m = 2 p$ である。したがって $p = m /2$ であり、接線の切片は

n = (\frac{m}{2})^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - m \cdot \frac{m}{2} = - \frac{m ^{2}}{4} + \frac{1}{a ^{2}} .

次に $C_{2} : y = - (x - a)^{2}$ との接点の $x$ 座標を $q$ とすると、傾きは $m = - 2 (q - a)$ だから $q = a - \frac{m}{2}$ である。このとき接点の $y$ 座標は $- m^{2} /4$ なので、接線の切片は $n = - \frac{m ^{2}}{4} - m (a - \frac{m}{2}) = \frac{m ^{2}}{4} - am .$ 共通接線であるためには2つの切片が等しいから $- \frac{m ^{2}}{4} + \frac{1}{a ^{2}} = \frac{m ^{2}}{4} - am$ であり、 $\frac{m ^{2}}{2} - am - \frac{1}{a ^{2}} = 0$ を得る。

この2つの解を $m_{1} < m_{2}$ とする。解と係数の関係より $m_{1} + m_{2} = 2 a, m_{1} m_{2} = - \frac{2}{a ^{2}},$ また $m_{2} - m_{1} = 2 a^{2} + \frac{2}{a ^{2}}$ である。 $C_{1}$ 上の接点を $P_{i}$ 、 $C_{2}$ 上の接点を $Q_{i}$ とすると

P_{i} = (\frac{m _{i}}{2}, \frac{m _{i}^{2}}{4} + \frac{1}{a ^{2}}), Q_{i} = (a - \frac{m _{i}}{2}, - \frac{m _{i}^{2}}{4})

である。四角形 $P_{1} Q_{2} Q_{1} P_{2}$ の面積を座標で計算すると $S (a) = \frac{m _{2} - m _{1}}{4} {a (m_{1} + m_{2}) + \frac{2}{a ^{2}} - m_{1} m_{2}}$ となる。ここに上の関係式を代入して

S (a) = \frac{m _{2} - m _{1}}{4} (2 a^{2} + \frac{4}{a ^{2}}) = (a^{2} + \frac{2}{a ^{2}})^{3/2} = \frac{( a ^{4} + 2 ) ^{3/2}}{a ^{3}} .

あとは $a > 0$ でこの値を最小にすればよい。微分すると $S^{'} (a) = \frac{3 ( a ^{4} - 2 ) a ^{4} + 2}{a ^{4}}$ である。したがって $S (a)$ は $a^{4} < 2$ で減少し、 $a^{4} > 2$ で増加する。よって最小となるのは $a = 2^{1/4}$ のときである。その最小値は $S (2^{1/4}) = \frac{4 ^{3/2}}{2 ^{3/4}} = 2^{9/4}$ である。

東京大学 1989年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 1989年度
文系数学第2問