東京大学 1984年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に，海を隔てて2国 $A$ ， $B$ がある． $A$ の領土は不等式 $x^{2} + (y - 7)^{2} ≦ 4$ で表される領域であり， $B$ の領土は不等式 $y ≦ 0$ で表される領域であるという．
いま $A$ の領海を次の3条件(1)，(2)，(3)を満たす点 $P$ 全体の集合と定める:

(1) $P$ は $A$ ， $B$ いずれの領土にも含まれない．

(2) $P$ と $A$ の領土との間の最短距離は4より小さい．

(3) $P$ と $A$ の領土との間の最短距離は， $P$ と $B$ の領土との間の最短距離より小さい．

$A$ の領海の面積を求めよ．

出典：東京大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

Aの領土は中心 $(0, 7)$ 、半径 $2$ の円板であり、Bの領土は半平面 $y ≦ 0$ である。領土外の点では、Bまでの距離は $y$ 、Aまでの距離は中心からの距離から $2$ を引いたものになる。条件を円環と放物線の上側へ翻訳し、半径 $6$ の円内で放物線より上の部分から半径 $2$ の円板を除いて面積を求める。

解答

(1)

Aの領土である円板の中心を $O_{A} = (0, 7)$ とする。点 $P (x, y)$ がA、Bのどちらの領土にも含まれないとき、まず $y > 0$ であり、Aの円板の外側にある。このとき、Bの領土 $y ≦ 0$ までの最短距離は $y$ である。またAの領土までの最短距離は $x^{2} + (y - 7)^{2} - 2$ である。

(2)

条件(2)より、Aまでの距離が $4$ より小さいから $x^{2} + (y - 7)^{2} - 2 < 4$ すなわち $x^{2} + (y - 7)^{2} < 6$ である。またAの領土外にあるので $x^{2} + (y - 7)^{2} > 2$ である。したがって、点は中心 $(0, 7)$ 、半径 $2$ と $6$ の間の円環にある。

(3)

条件(3)は $x^{2} + (y - 7)^{2} - 2 < y$ である。右辺は正なので、両辺を移項して平方してよい。これは $x^{2} + (y - 7)^{2} < y + 2$ と同値であり、平方すると $x^{2} + (y - 7)^{2} < (y + 2)^{2}$ である。整理して $x^{2} - 18 y + 45 < 0$ となるから $y > \frac{x ^{2}}{18} + \frac{5}{2}$ である。

よってAの領海は、中心 $(0, 7)$ 、半径 $6$ の円の内部で、放物線 $y = \frac{x ^{2}}{18} + \frac{5}{2}$ より上にあり、さらに半径 $2$ のAの円板を除いた部分である。

半径 $6$ の円の下側は $y = 7 - 36 - x^{2}$ である。これと放物線の交点は $7 - 36 - x^{2} = \frac{x ^{2}}{18} + \frac{5}{2}$ を解いて $x = \pm 33, y = 4$ である。したがって、半径 $6$ の円のうち放物線より下にある部分の面積は

\int_{- 33}^{33} {\frac{x ^{2}}{18} + \frac{5}{2} - (7 - 36 - x^{2})} d x

である。すなわち

\int_{- 33}^{33} (\frac{x ^{2}}{18} - \frac{9}{2} + 36 - x^{2}) d x

である。この値は $12 π - 153$ となる。

半径 $6$ の円板の面積は $36 π$ 、Aの領土である半径 $2$ の円板の面積は $4 π$ である。したがって求める面積は $36 π - (12 π - 153) - 4 π = 20 π + 153$ である。

東京大学 1984年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1984年度
文系数学第2問