東京大学 1984年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 微分、関数
- 解法
- 増減表、場合分け、絶対値の処理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 17分
問題
tを実数の定数として，関数f(x)=(x2−3x+2)(x−t)を考える．いまf′(x)=0の2個の解をα，β (α<β)と書くことにすれば，これらはtの関数とみなすことができる．
tの関数∣t−α∣+∣t−β∣の1≦t≦3の範囲における最大値および最小値を求めよ．
出典：東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず f′(x) を計算し、2解 α,β の和と差を t で表す。絶対値和は t が2解の間にあるか、2解の右にあるかで形が変わるため、f′(t)=(t−1)(t−2) の符号を使って 1≦t≦2 と 2≦t≦3 に分ける。各区間で最大最小を調べる。
解答
f(x)=(x2−3x+2)(x−t) であるから f′(x)=(2x−3)(x−t)+(x2−3x+2) であり、整理して f′(x)=3x2−2(t+3)x+3t+2 となる。判別式は {−2(t+3)}2−4⋅3(3t+2)=4(t2−3t+3) である。ここで t2−3t+3=(t−23)2+43>0 なので、f′(x)=0 は常に異なる2解をもつ。
2解を α<β とすると、解と係数の関係から α+β=32(t+3) であり、また β−α=32t2−3t+3 である。
次に t と α,β の位置関係を調べる。 f′(t)=t2−3t+2=(t−1)(t−2) である。f′(x) は上に開く2次式なので、α<x<β で負、外側で正である。したがって 1≦t≦2 では α≦t≦β であり、2≦t≦3 では α≦β≦t である。 1≦t≦2 では ∣t−α∣+∣t−β∣=β−α=32t2−3t+3 である。この右辺は t=3/2 で最小となり、最小値は 3243=33 である。またこの区間の端 t=1,2 では値は 2/3 である。 2≦t≦3 では ∣t−α∣+∣t−β∣=(t−α)+(t−β)=2t−(α+β) である。よって ∣t−α∣+∣t−β∣=2t−32(t+3)=34t−2 となる。これは t の増加関数なので、t=3 で最大値 2 をとる。
以上より、求める最大値は 2 であり、そのとき t=3 である。最小値は 33 であり、そのとき t=23 である。
